2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系 36页

第五章　5.2　三角函数的概念 学习目标 XUEXIMUBIAO 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. NEIRONGSUOYIN 内容索引 知识梳理 题型探究 随堂演练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　同角三角函数的基本关系 1.平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，即sin2α＋cos2α＝ . 2.商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ，即 ＝ 其中 α≠kπ＋ (k∈Z). 1 1 正切 tan α 思考　同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 答案　平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠kπ＋ ，k∈Z. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1 3.已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ . 解析　由题意得3sin α＝－cos α≠0， 2 题型探究 PART TWO 一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos2α＋cos2α＝1， ∴α是第二或第三象限的角. 如果α是第二象限角，那么 如果α是第三象限角，同理可得 反思 感悟 已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法 跟踪训练1　已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 解　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1， 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， 当角α的终边在第四象限时， 二、化简求值与恒等式的证明 解　因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 反思 感悟 同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称； (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号； (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以 降幂化简. 三、sin θ±cos θ型求值问题 求：(1)tan θ； (2)sin θ－cos θ. 方法二　因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0， 反思 感悟 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可 以求其他两个，即“知一求二”. (2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号. －2 解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， 典例　已知tan α＝3，求下列各式的值： 化切求值的方法技巧 核心素养之数学运算 HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN 素养 提升 (2)对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝ sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子， 从而可以求值. (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养. 3 随堂演练 PART THREE 1 2 3 4 5 1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是 √ 解析　由商数关系可知A，D均不正确. 当α为第二象限角时，cos α<0，sin α>0，故B正确. 1 2 3 4 5 √ 1 3 4 52 √ 1 3 4 52 1 3 4 52 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 1.知识清单： (1)同角三角函数基本关系式； (2)三角恒等式的化简与证明； (3)sin α±cos α型求值问题； (4)齐次式的化切求值. 2.方法归纳：sin α±cos α型求值问题中的整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α所在的象限进行分类 讨论. 本课结束