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- 2021-06-10 发布
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4.3.2 空间两点间的距离公式
(一)教学目标
1.知识与技能
使学生掌握空间两点间的距离公式
2.过程与方法
由平面上两点间的距离公式,引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式
3.情态与价值观
通过空间两点间距离公式的推导,使学生经历从易到难,从特殊到一般的认识过程
(二)教学重点、难点
重点:空间两点间的距离公式;
难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导。
(三)教学设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在平面上任意两点A (x1,y1),B (x2,y2)之间的距离的公式为|AB| =,那么对于空间中任意两点A (x1,y1,z1),B (x2,y2,z2)之间的距离的公式会是怎样呢?你猜猜?
师:只需引导学生大胆猜测,是否正确无关紧要。
生:踊跃回答
通过类比,充分发挥学生的联想能力。
概念形成
(2)空间中任间一点P (x,y,z)到原点之间的距离公式会是怎样呢?
师:为了验证一下同学们的猜想,我们来看比较特殊的情况,引导学生用勾股定理来完成
学生:在教师的指导下作答得出|OP| =.
从特殊的情况入手,化解难度
概念深化
(3)如果|OP| 是定长r,那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形?
师:注意引导类比平面直角坐标系中,方程x2 + y2 = r2表示的图形中,方程x2 + y2 = r2表示图形,让学生有种回归感。
生:猜想说出理由
任何知识的猜想都要建立在学生原有知识经验的基础上,学生可以通过类比在平面直角系中,方程x2 + y2 = r2表示原点或圆,得到知识上的升华,提高学习的兴趣。
(4)如果是空间中任间一点P1 (x1,y1,z1)到点P2 (x2,y2,z2)之间的距离公式是怎样呢?
师生:一起推导,但是在推导的过程中要重视学生思路的引导。
得出结论:
|P1P2| =
人的认识是从特殊情况到一般情况的
巩固练习
1.先在空间直角坐标系中标出A、B两点,再求它们之间的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7)
2.在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点B(1,–3,1)的距离相等.
3.求证:以A(10,–1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰三角形.
4.如图,正方体
教师引导学生作答
1.解析(1),图略
(2),图略
2.解:设点M的坐标是(0,0,z).
依题意,得
=
.
解得z = –3.
所求点M的坐标是(0,0,–3).
3.证明:根据空间两点间距离公式,得
,
.
培养学生直接利用公式解决问题能力,进一步加深理解
OABD – D′A′B′C′的棱长为a,|AN| = 2|CN|,|BM| = 2|MC′|.求MN的长.
因为7+7>,且|AB| = |BC|,所以△ABC是等腰三角形.
4.解:由已知,得点N的坐标为
,
点M的坐标为,于是
课外练习
布置作业 见习案4.3的第二课时
学生独立完成
巩固深化所学知识
备选例题
例1 已知点A在y轴 ,点B(0,1,2)且,则点A的坐标为 .
【解析】由题意设A(0,y,0),则,
解得:y = 0或y = 2,故点A的坐标是(0,0,0)或(0,2,0)
例2 坐标平面yOz上一点P满足:(1)横、纵、竖坐标之和为2;(2)到点A (3,2,5),B(3,5,2)的距离相等,求点P的坐标.
【解析】由题意设P(0,y,z),则
解得:
故点P的坐标为(0,1,1)
例3 在yOz平面上求与三个已知点A(3,1,2),B(4,–2,–2),C (0,5,1)等距离的点的坐标.
【解析】设P(0,y,z),由题意
所以
即,所以,
所以P的坐标是(0,1,–2).
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