2020高中数学 第一章 导数及其应用 阶段复习课 第1课 导数及其应用学案 新人教A版选修2-2 11页

第一课　导数及其应用 ‎[核心速填]‎ ‎1．导数的概念 ‎(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．‎ ‎(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．‎ ‎2．几个常用函数的导数 ‎(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0.‎ ‎(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.‎ ‎(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.‎ ‎(4)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝－.‎ ‎(5)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝.‎ ‎3．基本初等函数的导数公式 ‎(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0.‎ ‎(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1.‎ ‎(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x.‎ ‎(4)若f(x)＝cos x ，则f′(x)＝－sin_x.‎ ‎(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a.‎ ‎(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.‎ ‎(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝.‎ ‎(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.‎ ‎4．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．‎ ‎(3)′＝.‎ ‎5．复合函数的求导法则 ‎(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．‎ ‎(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．‎ ‎(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.‎ 11‎ ‎6．函数的单调性、极值与导数 ‎(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．‎ ‎(2)函数的极值与导数 ‎①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；‎ ‎②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．‎ ‎7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ‎(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．‎ ‎8．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．‎ ‎9．定积分的性质 ‎①kf(x)dx＝kf(x)dx；‎ ‎②[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx；‎ ‎③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．‎ ‎[体系构建]‎ 11‎ ‎[题型探究]‎ 导数的几何意义 ‎　已知函数f(x)＝x3＋x－16.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；‎ ‎(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；‎ ‎(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程. ‎ ‎【导学号：31062107】‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，‎ ‎∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.‎ ‎∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，‎ 即y＝13x－32.‎ 11‎ ‎(2)法一：设切点为(x0，y0)，‎ 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，‎ ‎∴直线l的方程为 y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.‎ 又∵直线l过点(0,0)，‎ ‎∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.‎ 整理得，x＝－8，‎ ‎∴x0＝－2.‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，‎ 则k＝＝，‎ 又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，‎ ‎∴＝3x＋1.‎ 解得，x0＝－2，‎ ‎∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.‎ k＝3×(－2)2＋1＝13.‎ ‎∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．‎ ‎(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，‎ ‎∴切线的斜率k＝4.‎ 设切点坐标为(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x＋1＝4，‎ ‎∴x0＝±1.‎ ‎∴或 即切点为(1，－14)或(－1，－18)．‎ 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.‎ 即y＝4x－18或y＝4x－14.‎ ‎[规律方法]　1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点. ‎2.围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f′(x0)，y0＝f(x0‎ 11‎ )，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.‎ ‎[解析]　∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)，‎ ‎∴a＝－3，∴y′＝3x2－3，‎ ‎∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9，‎ ‎∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.‎ ‎[答案]　－15‎ 函数的单调性与导数 ‎　(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有(　　) 【导学号：31062108】‎ A．af(b)＜bf(a)　　　　 B．bf(a)＜af(b)‎ C．af(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a)‎ ‎(2)设f(x)＝aln x＋，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性．‎ ‎(1)A　[令F(x)＝，则F′(x)＝.‎ 又当x＞0时，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，‎ ‎∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ 又a＜b，‎ ‎∴F(a)＞F(b)，‎ ‎∴＞，‎ ‎∴bf(a)＞af(b)，故选A.]‎ ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ f′(x)＝＋＝.‎ 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(‎2a＋2)x＋a，‎ 由于Δ＝(‎2a＋2)2－‎4a2＝4(‎2a＋1)，‎ ‎①当a＝－时，Δ＝0，‎ f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，‎ 11‎ f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎③当－＜a＜0时，Δ＞0.‎ 设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，‎ 则x1＝，x2＝，‎ 由x1＝＝＞0，‎ 所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，‎ x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，‎ x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，‎ 综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ 当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ 当－＜a＜0时，‎ 函数f(x)在，‎ 上单调递减，‎ 在上单调递增．‎ ‎[规律方法]　利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.求解参数范围的步骤为： (1)对含参数的函数f(x)求导，得到f′(x)； (2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；‎ (3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.‎ 当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．‎ 当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a 11‎ ‎－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．‎ 依题意当x∈(1,4)时，f′(x)＜0，‎ 当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.‎ 因此a的取值范围是[5,7]．‎ 函数的极值、最值与导数 ‎　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋‎2a，即3＋‎2a＝－3，a＝－3.‎ 又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.‎ 所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.‎ ‎(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，‎ 得f′(x)＝3x2－6x.‎ 由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.‎ ‎①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.‎ ‎②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，‎ f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2，t)‎ t f′(x)‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎2‎ ‎－2‎ t3－3t2＋2‎ f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．‎ f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，‎ 所以f(x)max＝f(0)＝2.‎ 母题探究：(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．‎ ‎[解]　令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，‎ 则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．‎ 在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0.‎ 要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，‎ 则解得－2＜c≤0.‎ 11‎ ‎[规律方法]　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点. (2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．已知a，b为常数且a＞0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b.‎ ‎(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；‎ ‎(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－，求a，b的值. ‎ ‎【导学号：31062109】‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－‎3a＝3(x－a)(x＋1)，‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，‎ 因为a＞0，所以x1＜x2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1，a)‎ a ‎(a，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 极大值 极小值 所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即‎3a＋2b＝3.‎ ‎(2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数，‎ 所以f(a)为最小值，‎ f(a)＝－a3－a2＋b.‎ 即－a3－a2＋b＝－.‎ 又由b＝，于是有a3＋‎3a2＋‎3a－26＝0，‎ 即(a＋1)3＝27，所以a＝2，b＝－.‎ 当a＞3时，由(1)知f(x)在[0,3]上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)＝－，‎ 从而求得a＝，不合题意，舍去．‎ 综上，a＝2，b＝－.‎ 生活中的优化问题 11‎ ‎　某企业拟建造如图11所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．‎ 图11‎ ‎(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；‎ ‎(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．‎ ‎[解]　由题意可知 ＋πr‎2l＝，∴l＝－.‎ 又圆柱的侧面积为2πrl＝－，‎ 两端两个半球的表面积之和为4πr2.‎ 所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.‎ 又l＝－＞0⇒r＜2，所以定义域为(0,2)．‎ ‎(2)因为y′＝－＋16πr＝，‎ 所以令y′＞0，得2＜r＜2；‎ 令y′＜0，得0＜r＜2.‎ 所以当r＝‎2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝米．‎ ‎[规律方法]　解决优化问题的步骤 (1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.‎ (2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.‎ (3)验证数学问题的解是否满足实际意义.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎4．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．‎ 11‎ ‎(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；‎ ‎(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？‎ ‎[解]　(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)．‎ ‎(2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．‎ 故为了使全程运输成本最小，轮船应以‎35海里/小时的速度行驶.‎ 函数方程思想 ‎　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的极值点；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围. ‎ ‎【导学号：31062110】‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，‎ 得x1＝－，x2＝.‎ 当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－，) 时，f′(x)＜0，‎ 因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．‎ ‎(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．‎ ‎(3)法一：f(x)≥k(x－1)，‎ 即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，‎ 因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，‎ 令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，‎ 所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．‎ 法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，‎ 11‎ 曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，‎ 由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．‎ ‎[规律方法]　讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎5．已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．‎ ‎[解]　函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．‎ ‎(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，‎ 即f(x)在(a，＋∞)上无零点．‎ ‎(2)当x＜a时，f(x)＝，‎ 令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1)．‎ 由g′(x)＝0得x＝a－1.‎ 当x＜a－1时，g′(x)＜0；‎ 当x＞a－1时，g′(x)＞0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.‎ ‎∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；‎ 当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)没有零点；‎ 当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有两个零点．‎ 11‎