高中数学人教a版选修1-1学业分层测评16函数的单调性与导数word版含解析 7页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．函数 y＝f(x)的图象如图 3－3－4 所示，则导函数 y＝f′(x)的 图象可能是( ) 图 3－3－4 【解析】 由函数 y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋ ∞)上，函数 f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x) 均小于 0，故选 D. 【答案】 D 2．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．有最大值 D．有最小值 【解析】 ∵cos x≤1，∴f′(x)＝2－cos x>0 恒成立，∴f(x)在(－ ∞，＋∞)上为增函数． 【答案】 A 3．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1) 【解析】 y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－ 2x＋3)ex>0，由于 ex>0，则－x2－2x＋3>0，解得－30，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有 f(2)0； ②若在(a，b)内 f′(x)存在，则 f(x)必为单调函数； ③若在(a，b)内对任意 x 都有 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内是增函 数； ④若可导函数在(a，b)内有 f′(x)<0，则在(a，b)内有 f(x)<0. 【解析】 对于①，可以存在 x0，使 f′(x0)＝0 不影响区间内函 数的单调性；对于②，导数 f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函 数；对于④，f′(x)<0 只能得到 f(x)单调递减． 【答案】 ③ 三、解答题 9．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝1 2x＋sin x，x∈(0,2π)； (2)f(x)＝2x－ln x. 【解】 (1)∵f′(x)＝1 2 ＋cos x， 令 f′(x)>0，得1 2 ＋cos x>0，即 cos x>－1 2. 又∵x∈(0,2π)，∴00，解得 x>1 2 ； 令 2－1 x<0，解得 00， 此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－10， 所以 f′(x)<0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当 01 时，xf′(x)>0，所以 f′(x)>0，此时原函数为增函数，图象应 是上升的，由上述分析，可知选 C. 【答案】 C 2．设 f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且 f′(x)＞g′(x)，则当 a＜x＜ b 时，有( ) 【导学号：26160085】 A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x) C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b) 【解析】 ∵f′(x)－g′(x)＞0，∴(f(x)－g(x))′＞0， ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数， ∴当 a＜x＜b 时，f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．故选 C. 【答案】 C 3．若函数 f(x)＝ln x－1 2ax2－2x 存在单调递减区间，则实数 a 的 取值范围是________． 【解析】 f′(x)＝1 x －ax－2＝－ax2＋2x－1 x . 因为函数 f(x)存在单调递减区间，所以 f′(x)≤0 有解． 又因为函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 所以 ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内有解． ①当 a>0 时，y＝ax2＋2x－1 为开口向上的抛物线， ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内恒有解； ②当 a<0 时，y＝ax2＋2x－1 为开口向下的抛物线， 若 ax2＋2x－1≥0 在(0，＋∞)内恒有解， 则 Δ＝4＋4a≥0， x＝－1 a>0， 解得－1≤a<0； ③当 a＝0 时，显然符合题意． 综合上述，a 的取值范围是[－1，＋∞)． 【答案】 [－1，＋∞) 4．已知函数 f(x)＝x3－ax－1. (1)若 f(x)在 R 上单调递增，求 a 的取值范围； (2)是否存在实数 a，使 f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：f(x)＝x3－ax－1 的图象不可能总在直线 y＝a 的上方． 【解】 (1)f′(x)＝3x2－a，∵3x2－a≥0 在 R 上恒成立，即 a≤3x2 在 R 上恒成立，又∵y＝3x2≥0，∴当 a≤0 时，f(x)＝x3－ax－1 在 R 上是增函数，又 a＝0 时，f′(x)＝3x2 不恒为 0，∴a≤0. (2)∵3x2－a≤0 在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2 在(－1，1)上恒成 立．但当 x∈(－1，1)时，0≤3x2<3，∴a≥3，即当 a≥3 时，f(x)在(－ 1,1)上单调递减． (3)证明：取 x＝－1，得 f(－1)＝a－2