【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）4【附详细答案和解析_可编辑】 9页

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________‎ ‎ 一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎1. “a≤0‎”是“函数fx=|ax-1‎x|‎在区间‎0,+∞‎内单调递增”的（        ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎2. 坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是(        ) ‎ A.‎(1,π‎2‎)‎ B.‎(1,-π‎2‎)‎ C.‎(1, 0)‎ D.‎‎(1, π)‎ ‎ ‎ ‎3. 设f(n)=2+‎2‎‎4‎+‎2‎‎7‎+‎2‎‎10‎+...+‎2‎‎3n+1‎(n∈N)‎，则f(n)‎等于（ ） ‎ A.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n-1)‎ B.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1)‎ C.‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1‎-1)‎ D.‎‎2‎‎7‎‎(‎8‎n+1‎+1)‎ ‎ ‎ ‎4. 下列说法正确的是（ ） ‎ A.因为sin(π-x)‎＝sinx，所以π是函数y＝sinx的一个周期 B.因为tan(2π+x)‎＝tanx，所以‎2π是函数y＝tanx的最小正周期 C.因为x=‎π‎4‎时，等式sin(π‎2‎+x)=sinx成立，所以π‎2‎是函数y＝sinx的一个周期 D.因为cos(x+π‎3‎)≠cosx，所以π‎3‎不是函数y＝cosx的一个周期 ‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎5. 如关于x的不等式‎|x+1|-|ax-1|>0‎对任意x∈(0，1)‎恒成立，则a的取值范围为________. ‎ ‎ ‎ ‎6. i为虚数单位，若复数‎(1+mi)(1+i)‎是纯虚数，则实数m=‎________． ‎ ‎ ‎ ‎7. 平行于直线‎4x+3y-10=0‎，且与其距离为‎2‎的直线方程是________． ‎ ‎ ‎ ‎8. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为‎15‎，乙组数据的平均数为‎15.8‎，则x+y的值为________． ‎ ‎ ‎ ‎9. 函数y=-arccos2x的反函数为________． ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图，三棱锥P-ABC的体积为‎24‎，又‎∠PBC＝‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎，BC＝‎3‎，AB＝‎4‎，PB=4‎‎10‎，且‎∠PBA为锐角，则PA与平面ABC所成的角为________． ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知α∈(-π‎2‎,π‎2‎)‎，tanα＝sin‎76‎‎∘‎cos‎46‎‎∘‎-cos‎76‎‎∘‎sin‎46‎‎∘‎，则sinα＝________ ‎ ‎ ‎ ‎12. 已知‎(x+1‎)‎‎4‎=a‎0‎+a‎1‎(x-1)+a‎2‎(x-1‎)‎‎2‎+a‎3‎(x-1‎)‎‎3‎+a‎4‎(x-1‎‎)‎‎4‎，则a‎3‎‎=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎13. ‎△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，‎且满足‎(b+c)(b-c)=a(b-a)‎，则内角C等于________. ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知函数f(x)‎是定义在R上的奇函数，f(1)‎＝‎0‎，当x>0‎时，xf‎'‎(x)-f(x)>0‎，则不等式f(x)‎x‎>0‎的解集是________． ‎ ‎ ‎ ‎15. 无穷数列‎{an}‎由k个不同的数组成，Sn为‎{an}‎的前n项和．若对任意n∈‎N‎*‎，Sn‎∈{2, 3}‎，则k的最大值为________． ‎ ‎ ‎ ‎16. 平面向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎，a‎→‎‎=(1,-1)，|b‎→‎|=1‎，则‎|a‎→‎+2b‎→‎|‎=________． ‎ ‎ ‎ ‎17. 已知 sinαcosα=‎‎1‎‎8‎，且 π‎4‎‎<α<‎π‎2‎，则 sinα-cosα 的值为________． ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ‎ ‎18. 已知‎|a‎→‎|=|b‎→‎|=1‎，a‎→‎与b‎→‎夹角是‎120‎‎∘‎‎,c‎→‎=2a‎→‎+3b‎→‎，d‎→‎=ka‎→‎-4‎b‎→‎且c‎→‎与d‎→‎垂直，k的值为________． ‎ ‎ 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ） ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1‎，‎∠BAC=‎π‎2‎，高等于‎3‎，点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点． ‎ ‎（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积；‎ ‎ ‎ ‎（2）求异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角的大小． ‎ ‎ ‎ ‎20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S‎1‎和S‎2‎，其中S‎1‎中的蔬菜运到河边较近，S‎2‎中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S‎1‎和S‎2‎的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为‎(1, 0)‎，如图 ‎ ‎(1)‎求菜地内的分界线C的方程；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎菜农从蔬菜运量估计出S‎1‎面积是S‎2‎面积的两倍，由此得到S‎1‎面积的经验值为‎8‎‎3‎．设M是C上纵坐标为‎1‎的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S‎1‎面积的“经验值”．‎ ‎ ‎ ‎21. 已知抛物线C‎1‎‎:y‎2‎=‎9‎‎2‎x，双曲线C‎2‎‎:x‎2‎-y‎2‎‎3‎=1‎．若抛物线C‎1‎与双曲线C‎2‎在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为‎2‎． ‎ ‎（1）求双曲线C‎2‎的渐近线方程及其离心率；‎ ‎ ‎ ‎（2）求直线l被抛物线C‎1‎所截得的弦长．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知a∈R，函数f(x)=log‎2‎(‎1‎x+a)‎． ‎ ‎(1)‎当a=5‎时，解不等式f(x)>0‎；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若关于x的方程f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎(3)‎设a>0‎，若对任意t∈[‎1‎‎2‎, 1]‎，函数f(x)‎在区间‎[t, t+1]‎上的最大值与最小值的差不超过‎1‎，求a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎23. 设曲线y=xn+1‎(n∈N*)‎在点‎(1, 1)‎处的切线与 x 轴交于点An‎(xn, 0)‎，设an‎=x‎1‎x‎2‎...‎xn． ‎ ‎（1）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎（2）求数列‎{‎1‎an}‎的前n项和Sn．‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（理科）4【附详细答案和解析_可编辑】‎ 一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ） ‎ ‎1.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a=0‎时，fx=|ax-1‎x|=|x|‎在区间‎0,+∞‎上单调递增； 当a<0‎时，结合函数fx=|ax-1‎x|=|ax‎2‎-x|‎的图象知函数在‎0,+∞‎上单调递增，如图（1）所示； 当a>0‎时，结合函数fx=|ax-1‎x|=|ax‎2‎-x|‎的图象知函数在‎0,+∞‎上先增后减再增，不符合条件，如图（2）所示． 所以，要使函数fx=|ax-1‎x|‎在‎0,+∞‎上单调递增只需a≤0‎． 即“a≤0‎”是“函数fx=|ax-1‎x|‎在‎0,+∞‎上单调递增”的充要条件．‎ ‎2.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解：将方程ρ=-2sinθ两边都乘以p得： ρ‎2‎‎=-2ρsinθ， 化成直角坐标方程为x‎2‎‎+y‎2‎+2y=0‎， 圆心的坐标‎(0, -1)‎， ∴ 圆心的极坐标‎(1,-π‎2‎)‎. 故选B．‎ ‎3.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解：由题易知f(n)‎可看作是首项为‎2‎、公比为‎2‎‎3‎‎=8‎的等比数列的前n+1‎项和， ∴ f(n)=‎2(1-‎8‎n+1‎)‎‎1-8‎=‎‎2(‎8‎n+1‎-1)‎‎7‎， 故选：C．‎ ‎4.【答案】‎ D ‎【解答】‎ 由sin(x+π)‎＝‎-sinx，可得π不是函数y＝sinx的一个周期，故A错误； tan(2π+x)‎＝tanx，所以‎2π是函数y＝tanx的一个正周期，由tan(x+π)‎＝tanx， 可得π是函数y＝tanx的最小正周期，故B错误； x=‎π‎4‎时，等式sin(π‎2‎+x)=sinx成立，但x=‎π‎3‎，等式sin(π‎2‎+x)=sinx不成立， 所以π‎2‎不是函数y＝sinx的一个周期，故C错误； 由cos(x+π‎3‎)≠cosx，由周期函数的定义，可得π‎3‎不是函数y＝cosx的一个周期，故D正确．‎ 二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ） ‎ ‎5.【答案】‎ ‎-1-1，‎对任意x∈(0，1)‎恒成立 ，‎ ‎∵ ‎1+‎2‎x>1+2=3‎，‎ ‎∴ ‎-10‎， 得函数g(x)=‎f(x)‎x在‎(0, +∞)‎上为增函数 又由g(-x)=f(-x)‎‎-x=f(x)‎x=g(x)‎，得函数g(x)‎在R上为偶函数 ∴ 函数g(x)‎在‎(-∞, 0)‎上为减函数 且g(1)‎＝‎0‎，g(-1)‎＝‎0‎ 由图可知f(x)‎x‎>0‎的解集是‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎ 故答案为：‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎． ‎ ‎15.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解：依题意得，a‎1‎‎=S‎1‎∈{2,3}‎，Sn‎∈{2,3}‎且Sn+1‎‎∈{2,3}‎， 因此an+1‎‎=Sn+1‎-Sn∈{-1,0,1}(n∈N‎*‎)‎， 即数列‎{an}‎从第‎2‎项起的不同取值不超过‎3‎个， 进而可知数列‎{an}‎中的项的所有不同取值的个数k≤4‎， 且事实上，取数列‎{an}‎为‎2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯‎， 此时相应的k=4‎，Sn‎∈{2,3}‎． 因此k的最大值是‎4‎． 故答案为：‎4‎． ‎ ‎16.【答案】‎ ‎10‎ ‎【解答】‎ 解：‎∵ a‎→‎=(1,-1)‎， ‎∴ |a‎→‎|=‎1‎‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎， 又∵ 平面向量a‎→‎与b‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎，‎|b‎→‎|=1‎， ∴ ‎(a‎→‎+2‎b‎→‎‎)‎‎2‎‎=a‎→‎‎2‎‎+4a‎→‎b‎→‎+4‎b‎→‎‎2‎=‎2+4×‎2‎×1×‎2‎‎2‎+4×1‎=‎‎10‎． 故答案为：‎10‎．‎ ‎17.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎18.【答案】‎ ‎16‎ ‎【解答】‎ 解：∵ c‎→‎‎=2a‎→‎+3b‎→‎，d‎→‎=ka‎→‎-4‎b‎→‎且c‎→‎与d‎→‎垂直， ∴ c‎→‎‎⋅d‎→‎=0‎ ∵ ‎|a‎→‎|=|b‎→‎|=1‎，a‎→‎与b‎→‎夹角是‎120‎‎∘‎ ∴ ‎2k+(-8+3k)cos‎120‎‎∘‎-12=0‎ ∴ ‎2k-‎3‎‎2‎k=8‎ ∴ k=16‎ 故答案为：‎‎16‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ） ‎ ‎19.【答案】‎ ‎∵ 直三棱柱的底面是等腰直角三角形， AB=AC=1‎，‎∠BAC=‎π‎2‎，高等于‎3‎， ∴ 此三棱柱的体积V=S‎△BAC×AA‎1‎=‎1‎‎2‎×1×1×3=‎‎3‎‎2‎． ∵ 点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点． M‎1‎到平面AA‎1‎N‎2‎的距离d=AB=1‎， ∴ 三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积： VA‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎‎=VM‎1‎‎-A‎1‎AN‎2‎=‎1‎‎3‎×S‎△AA‎1‎N‎2‎×d =‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×1×1=‎‎1‎‎2‎．‎ 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA‎1‎为z轴， 建立空间直角坐标系， A‎1‎‎(0, 0, 3)‎，N‎2‎‎(0, 1, 2)‎，A(0, 0, 0)‎，M‎1‎‎(1, 0, 1)‎， A‎1‎N‎2‎‎→‎‎=(0, 1, -1)‎，AM‎1‎‎→‎‎=(1, 0, 1)‎， 设异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为θ， 则cosθ=‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎*AM‎1‎‎→‎|‎‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎|*|AM‎1‎‎→‎|‎=‎1‎‎2‎‎*‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，∴ θ=‎π‎3‎， ∴ 异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为π‎3‎． ‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 直三棱柱的底面是等腰直角三角形， AB=AC=1‎，‎∠BAC=‎π‎2‎，高等于‎3‎， ∴ 此三棱柱的体积V=S‎△BAC×AA‎1‎=‎1‎‎2‎×1×1×3=‎‎3‎‎2‎． ∵ 点M‎1‎、M‎2‎、N‎1‎、N‎2‎为所在线段的三等分点． M‎1‎到平面AA‎1‎N‎2‎的距离d=AB=1‎， ∴ 三棱锥A‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎的体积： VA‎1‎‎-AM‎1‎N‎2‎‎=VM‎1‎‎-A‎1‎AN‎2‎=‎1‎‎3‎×S‎△AA‎1‎N‎2‎×d =‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×1×1=‎‎1‎‎2‎．‎ 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA‎1‎为z轴， 建立空间直角坐标系， A‎1‎‎(0, 0, 3)‎，N‎2‎‎(0, 1, 2)‎，A(0, 0, 0)‎，M‎1‎‎(1, 0, 1)‎， A‎1‎N‎2‎‎→‎‎=(0, 1, -1)‎，AM‎1‎‎→‎‎=(1, 0, 1)‎， 设异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为θ， 则cosθ=‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎*AM‎1‎‎→‎|‎‎|A‎1‎N‎2‎‎→‎|*|AM‎1‎‎→‎|‎=‎1‎‎2‎‎*‎‎2‎=‎‎1‎‎2‎，∴ θ=‎π‎3‎， ∴ 异面直线A‎1‎N‎2‎、AM‎1‎所成的角为π‎3‎． ‎ ‎20.【答案】‎ 解：‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎， 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎， 整理得：y‎2‎‎=4x，‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图，过M作MD⊥x轴， 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点， 设M(x‎0‎, 1)‎，则y‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎，则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎， 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎， 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎， S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎，S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎， ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎， 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎， 整理得：y‎2‎‎=4x，‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图，过M作MD⊥x轴， 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点， 设M(x‎0‎, y‎0‎)‎，则y‎0‎‎=1‎， ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎， ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎，则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎， 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎， 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎， S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎，S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎， ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积．‎ ‎21.【答案】‎ ‎【解答】‎ 此题暂无解答 ‎22.【答案】‎ 解：‎(1)‎当a=5‎时，f(x)=log‎2‎(‎1‎x+5)‎， 由f(x)>0‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎， 即‎1‎x‎+5>1‎，则‎1‎x‎>-4‎，则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎， 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎， 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎．‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎， 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎． 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎， 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎，① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎， 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎，② 当a=4‎时，方程②的解为x=-1‎，代入①，成立， 当a=3‎时，方程②的解为x=-1‎，代入①，成立， 当a≠4‎且a≠3‎时，方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎， 若x=-1‎是方程①的解，则‎1‎x‎+a=a-1>0‎，即a>1‎， 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解，则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎，即a>2‎， 则要使方程①有且仅有一个解，则‎10‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎， 即‎1‎x‎+5>1‎，则‎1‎x‎>-4‎，则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎， 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎， 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎．‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎， 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎． 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎， 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎，① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎， 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎，② 当a=4‎时，方程②的解为x=-1‎，代入①，成立， 当a=3‎时，方程②的解为x=-1‎，代入①，成立， 当a≠4‎且a≠3‎时，方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎， 若x=-1‎是方程①的解，则‎1‎x‎+a=a-1>0‎，即a>1‎， 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解，则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎，即a>2‎， 则要使方程①有且仅有一个解，则‎1