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- 2021-06-10 发布
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数 学
N单元 选修4系列
N1 选修4-1 几何证明选讲
15.N1[2015·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图11,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2,则AD=________.
图11
15.3 [解析] 连接OC,则OC⊥DE,∴OC∥AD,∴=.由切割线定理得CE2=BE·AE,∴BE(BE+4)=12,解得BE=2,∴AD===3.
22.N1[2015·全国卷Ⅰ] 选修41:几何证明选讲
如图17,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.
(1)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;
(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.
图17
22.解:(1)证明:连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连接OE,则∠OBE=∠OEB.
又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,即DE是⊙O的切线.
(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=.
由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0,
可得x=,所以∠ACB=60°.
22.N1[2015·全国卷Ⅱ] 选修41:几何证明选讲
如图19,O是等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)证明:EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.
图19
22.解:(1)证明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.
又因为⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.
从而EF∥BC.
(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为⊙O的弦,所以O在AD上.
连接OE,OM,则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°,
因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
因为AE=2,所以AO=4,OE=2.
因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.
所以四边形EBCF的面积为×2×-×(2)2×=.
22.N1[2015·陕西卷] 选修41:几何证明选讲
如图17,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.
(1)证明:∠CBD=∠DBA;
(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.
图17
22.解:(1)证明:因为DE为⊙O的直径,
所以∠BED+∠EDB=90°.
又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,
从而∠CBD=∠BED.
又AB切⊙O于点B,
得∠DBA=∠BED,
所以∠CBD=∠DBA.
(2)由(1)知BD平分∠CBA,
则==3.
又BC=,从而AB=3,
所以AC==4,
所以AD=3.
由切割线定理得AB2=AD·AE,
即AE==6,
故DE=AE-AD=3,
即⊙O的直径为3.
6.N1[2015·天津卷] 如图12,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
图12
A. B.3
C. D.
6.A [解析] 根据相交弦定理知,CM·MD=AM·MB,CN·NE=AN·NB.又因为M,N
是弦AB 的三等分点,所以CM·MD=CN·NE,即2×4=3×NE,所以NE=.
N2 选修4-2 矩阵
N3 选修4-4 参数与参数方程
23.N3[2015·全国卷Ⅰ] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
23.解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=,故ρ1-ρ2=,即|MN|=.
由于圆C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
23.N3[2015·全国卷Ⅱ] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|最大值.
23.解:(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和,.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4sinα-.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
12.N3[2015·湖南卷] 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为________.
12.x2+y2-2y=0 [解析] 将曲线C的极坐标方程ρ=2sin θ两边同乘一个ρ,得ρ2
=2ρsin θ,即x2+y2=2y,故曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
23.N3[2015·陕西卷] 选修44:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
23.解:(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,
从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.
(2)设P3+t,t,又C(0,),
则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
14.N3[2015·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为________.
14.(2,-4) [解析] 曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2,曲线C2的普通方程为y2=8x,由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).
N4 选修4-5 不等式选讲
24.N4[2015·全国卷Ⅰ] 选修45:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
24.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得,f(x)=
所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2,
所以a的取值范围为(2,+∞).
24.N4[2015·全国卷Ⅱ] 选修45:不等式选讲
设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
24.证明:(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+>+.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即
(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
24.N4[2015·陕西卷] 选修45:不等式选讲
已知关于x的不等式|x+a|