高考数学一轮复习第九章立体几何9-7-2利用空间向量求二面角与空间距离练习理北师大版 10页

‎9.7.2 利用空间向量求二面角与空间距离 核心考点·精准研析 考点一　求二面角 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查与二面角相关的问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.‎ ‎2.怎么考:以柱、锥、台等几何体为载体考查与二面角相关的证明、求值问题.‎ ‎3.新趋势:以求二面角或某一三角函数值为主要命题方向.‎ 学 霸 好 方 法 ‎1.利用空间向量求二面角的两种方法:‎ ‎(1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;‎ ‎(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或π-).‎ ‎2.交汇问题: 常常与证明线面的平行、垂直关系同时考查.‎ 求二面角或某一三角函数值 ‎【典例】 (2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1. ‎ ‎(1)证明:BE⊥平面EB1C1.‎ ‎(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.‎ ‎【解析】(1)由已知得,B1C1⊥平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,EC1∩B1C1=C1,‎ 所以BE⊥平面EB1C1.‎ ‎(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=45°,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,‎ - 10 -‎ 则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),‎ ‎=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则 即所以可取n=(0,-1,-1).‎ 设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),‎ 则即 所以可取m=(1,1,0).于是cos