2020年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学一模试卷(文科) (含答案解析) 19页

2020 年宁夏银川市唐徕回民中学高考数学一模试卷(文科) 一、单项选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 Á à Á Ø à Ø #º Á à Á Ø Ø à Ø # ，则 º Á 䁧 A. à Á Ø à Ø # B. à Á Ø à Ø #C. à Á Ø Ø à Ø # D. à Á Ø Ø à Ø # Ø. 复数 z 满足 Ø ᦙ 䁪 Á 䁪 ，则 ᦙ 䁪 Á 䁧 A. Ø B. 2 C. 䁪 D. Ø Ø . 已知等差数列 # 的前 n 项和为 ，且 11 Á 1Ø Á 䁪 ，则 Ø Á 䁧 A. 20 B. 10 C. 4 D. 50 4. 某考察团对 10 个城市的职工人均工资 à䁧 千元 与居民人均消费 䁧 千元 进行调查统计，得出 y 与 x 具有线性相关关系，且回归方程为 Á .Ǥà ᦙ 1.Ø. 若某城市职工人均工资为 5 千元，估计该 城市人均消费额占人均工资收入的百分比为 䁧A. ǤǤ䁥 B. Ǥ쳌䁥 C. 쳌䁥 D. 4䁥 䁪. 已知 sinØ Á Ø4 Ø䁪 ， Ø Ø Ø ，则 Øcos䁧 4 Á 的值为 䁧A. 1 䁪 B. Á 1 䁪 C. 1 䁪 D. 쳌 䁪 Ǥ. 设双曲线 à Ø Ø Á Ø Ø Á 1䁧 的渐近线与抛物线 Á à Ø ᦙ 1 相切，则该双曲线的离心率等于 䁧A. B. 2 C. 䁪 D. Ǥ 쳌. 函数 䁧à Á à Á Áà à Ø 的图象大致为 䁧 A. B. C. D. . 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题： “今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸， 中有玉，并重十一斤 䁧1쳌Ǥ 两 . 问玉、石重各几何？”如图所示的 程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则 输出的 x，y 分别为 䁧 A. 90，86 B. 94，82 C. 98，78 D. 102，74 . 已知正四棱锥 Á º香 的侧棱长与底面边长都等于 2，点 E 是棱 SB 的中点，则直线 AE 与直 线 SD 所成的角的余弦值为 䁧A. Ø Ø B. Ø C. Ø D. 1. 已知实数 x，y 满足 à Á Ø ᦙ à ᦙ 4 Á à ᦙ ，则 Øà Á 的最大值为 䁧 A. Á B. Á C. Á 1 D. 0 11. 设函数 䁧à Á ሻ䁪Øà ，将 Á 䁧à 的图像向左平移 个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵 坐标变为原来的 3 倍得到 Á 䁧à 的图像，则 Á 䁧à 在 Á 1Ø 4 上的最大值为 䁧 A. 3 B. Ø Ø C. Ø Ø D. 1 1Ø. 已知 䁧à 为定义在 䁧 ᦙ 上的可导函数，且 䁧à à൐䁧à ，则满足不等式 䁧à à Ø 䁧 1 à 的 x 的取值范围是 䁧A. 䁧1 B. 䁧1 C. 䁧 1 Ø Ø D. 䁧 1 Ø Ø二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 1. 若抛物线 à Ø Á 4 上的点 A 到焦点的距离为 10，则 A 到 x 轴的距离是______． 14. 若数列 # 满足 ᦙ1 Á Ø Á 䁧 ， 1 Á Ø ，则 # 的前 6 项和等于____ . 1䁪. 已知三棱锥 Á º 的四个顶点都在表面积为 1Ǥ 的球 O 的球面上，且 Á º Á Á ， º Á ，连接 OP 交 AC 于 M，则 PM 的长为________． 1Ǥ. 若 䁧à Á à à1 Á à ᦙ à Ø 1 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 1쳌. 已知 º 中 ܿሻº ᦙ ܿሻ Á Øܿሻ䁪 ． 䁧1 求 的大小； 䁧Ø 若 Á Ø ， ܿ Á 1 ，求 º 的面积 S． 1. 某中学高三年级有学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人．为了研究学生的数学成绩是否 与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，统计了他们期中考试的数学分数， 然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成 5 组： 111 ， 111Ø ， 1Ø1 ， 114 ， 141䁪 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． 䁧 Ⅰ 从样本分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人，求两人恰为一男一女的概率； 䁧 Ⅱ 若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成 Ø Ø 列联表， 并判断是否有 ％的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ 附：随机变量 Ø Á 䁧Áܿ Ø 䁧ᦙ䁧ܿᦙ䁧ᦙܿ䁧ᦙ 䁧 Ø .Ø䁪 .1䁪 .1 .䁪 .Ø䁪 1.Ø Ø.쳌Ø Ø.쳌Ǥ .41 䁪.Ø4数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 女生 合计 1. 圆锥 PO 如图 1 所示，图 2 是它的正 䁧 主 视图．已知圆 O 的直径为 AB，C 是圆周上异于 A、B 的一点，D 为 AC 的中点 䁧1 求该圆锥的侧面积 S； 䁧Ø 求证：平面 平面 POD； 䁧 若 º Á Ǥ ，在三棱锥 Á º 中，求点 A 到平面 PBC 的距离． Ø. 已知 1 ， Ø 分别为椭圆 à Ø Ø ᦙ Ø Ø Á 1䁧 左、右焦点，点 䁧1 在椭圆上，且 Ø à 轴， 1Ø 的周长为 6； 䁧 Ⅰ 求椭圆的标准方程； 䁧 Ⅱ 过点 䁧1 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，是否存在常数 ，使得 º ᦙ º ÁÁ 쳌 恒成立？请说明理由． Ø1. 已知 䁧à Á ØàÁØ Á à Ø ᦙ 䁧Ø Á Øà Á ᦙ 1䁧à ． 䁧1 当 Á Ø 时，求函数 䁧à 在 䁧1䁧1 处的切线方程； 䁧Ø 若 à 1 时， 䁧à ，求实数 a 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 à Á ᦙ 䁪cos ÁÁ 4 ᦙ 䁪sin 䁧 为参数 ，以平面直角坐标 系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． 䁧1 求曲线 C 的极坐标方程； 䁧Ø 过点 䁧Ø ，倾斜角为 4 的直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，求 1 䁕 ᦙ 1 的值． 23. 函数 䁧à Á Øà Á Ø ᦙ à ᦙ 䁧1 求不等式 䁧à Øà ᦙ 䁪 的解集； 䁧Ø 若 䁧à 的最小值为 k，且实数 a、b、c 满足 䁧 ᦙ ܿ Á ，求证： Ø Ø ᦙ Ø ᦙ ܿ Ø ． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 本题考查集合的交集运算，属于基础题． 根据集合交集的定义计算，即可得到答案． 解：因为集合 Á à Á Ø à Ø #º Á à Á Ø Ø à Ø # ， 则 º Á à Á Ø Ø à Ø # ． 故选 C． 2.答案：B 解析： 本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模求法． 解：由 䁧Ø ᦙ 䁪 Á 䁪 得， Á 䁪 Øᦙ䁪 Á 䁪䁧ØÁ䁪 䁧Øᦙ䁪䁧ØÁ䁪 Á Ø Á 䁪 ， 则 ᦙ 䁪 Á Ø Á 䁪 ᦙ 䁪 Á Ø ， 故选 B． 3.答案：D 解析： 本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题． 由 11 Á 1Ø Á 䁪 化简得 Ø1 ᦙ 1 Á 䁪 ，再根据等差数列的前 n 项和公式求解即可． 解：设等差数列 # 的公差为 d， 由 11 Á 1Ø Á 䁪 得 䁧1 ᦙ 1 Á 䁧1 ᦙ 11 Á 䁪 ， 即 Ø1 ᦙ 1 Á 䁪 ， 所以 Ø Á Ø1 ᦙ Ø1 Ø Á 1䁧Ø1 ᦙ 1 Á 䁪.故选 D． 4.答案：D 解析： 本题考查线性回归方程，基础题． 把 à Á 䁪 代入回归直线方程可求出人均消费额，进而可求人均消费额占人均工资收入的百分比． 解： 与 x 具有线性相关关系，满足回归方程 Á .ǤǤ ᦙ 1.Ø ， 该城市居民人均工资水平为 à Á 䁪 ， 可以估计该市的职工人均消费额 Á .Ǥ 䁪 ᦙ 1.Ø Á 4.Ø ， 可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为 4.Ø 䁪 Á 4䁥 ， 故选 D． 5.答案：D 解析： 本题考查的是两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，属于基础题． 解：因为 sinØ Á Ø4 Ø䁪 ，所以 䁧sin ᦙ cos Ø Á 1 ᦙ sinØ Á 4 Ø䁪 ． 因为 Ø Ø Ø ，所以 sin ᦙ cos Á 쳌 䁪 ． 所以 Øcos 4 Á Á Ø Ø Ø 䁧cos ᦙ sin Á 쳌 䁪 ． 故选 D． 6.答案：C 解析： 求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线方程，运用相切的条件：判别式为 0，解方程，可得 a，b 的 关系，再由双曲线的 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到． 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查直线和曲线相切的条件，考查运算能力， 属于基础题． 解：双曲线 à Ø Ø Á Ø Ø Á 1䁧 的渐近线方程为 Á à ， 代入抛物线方程 Á à Ø ᦙ 1 ， 得 à Ø à ᦙ 1 Á ， 由相切的条件可得，判别式 Ø Ø Á 4 Á ， 即有 Á Ø ，则 ܿ Á Ø ᦙ Ø Á 4 Ø ᦙ Ø Á 䁪 ， 则有 Á ܿ Á 䁪 ． 故选 C． 7.答案：B 解析： 本题考查由函数解析式判断函数图象，属于基础题． 利用函数的奇偶性以及函数值的大小、正负情况可以排除错误答案，选出正确选项． 解：因为函数 䁧à Á à Á Áà à Ø 的定义域是 àà # ， 且 䁧 Á à Á Áà Á à à Ø ÁÁ à Á Áà à Ø ÁÁ 䁧à ， 所以函数 à 是奇函数， 即函数图象关于原点对称，排除 A； 当 à 时， à Á Áà ， 即 䁧à ，排除 香当 à ᦙ 时， Áà ， 由指数函数 Á à 和二次函数 Á à Ø 的图象特征， 可知此时 䁧à ᦙ ，排除 故选 B． 8.答案：C 解析： 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y 的值，模拟程序的运 行过程，可得答案． 解：第一次执行循环体后， Á ， ሻ Á Ǥ 쳌 ᦙ 1䁪 ， 不满足退出循环的条件，故 à Á ； 第二次执行循环体后， Á Ǥ ， ሻ Á 쳌 ᦙ 4 ， 不满足退出循环的条件，故 à Á 4 ； 第三次执行循环体后， Á Ø ， ሻ Á 4 쳌 ᦙ 41 ， 不满足退出循环的条件，故 à Á ； 第四次执行循环体后， Á 쳌 ， ሻ Á Ø쳌 ， 满足退出循环的条件， 故 à Á ， Á 쳌 ． 故选：C． 9.答案：D 解析：解：如图， 连接 AC，BD，交于 O，连接 EO， 香 ，则直线 AE 与直线 SD 所成的角为 ． 正四棱锥 Á º香 的侧棱长与底面边长都等于 2， Á Ø ， Á ， 在 中， Á Ø Á Ø Á 䁧 Ø Á 䁧 Ø Ø Á 1 ． cos Á Á 1 Á ． 故选：D． 由题意画出图形，连接 AC，BD，交于 O，连接 EO，可得 香 ，则 为直线 AE 与直线 SD 所成的角，求解直角三角形得答案． 本题考查异面直线所成的角，关键是由异面直线所成角的定义找出角，是中档题． 10.答案：B 解析： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线 Á Øà Á 过 y 轴的截距最小， 即 z 最大值，从而求解． 解：由约束条件作出图形： 易知可行域为图中阴影部分，验证当直线过点 䁧 Á 11 时， z 取得最大值 ÁÁ 1 Ø Á 1 ÁÁ ， 故选 B． 11.答案：A 解析： 本题考查了正弦函数的图象与性质和函数 Á ሻ䁪䁧à ᦙ 的图象与性质，属于基础题． 先由三角函数图象变换得出 䁧à ，再由正弦函数性质得出最大值． 解：由 Á 䁧à 的图象向左平移 个单位得到 Á sinØ䁧à ᦙ Á sin䁧Øà ᦙ 4 ， 再将图象上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的 3 倍得到 䁧à Á sin䁧Øà ᦙ 4 ， 再由 à Á 1Ø 4 得 1Ø Øà ᦙ 4 4 ， 故 䁧à 的最大值为 3． 选 A． 12.答案：B 解析：解：设 䁧à Á 䁧à à ， ൐䁧à Á à൐䁧àÁ䁧à à Ø ， 䁧à à൐䁧à ， ൐䁧à Ø ，在 䁧 ᦙ 恒成立， 䁧à 在 䁧 ᦙ 单调递减， 䁧à à Ø 䁧 1 à ， 䁧à à 䁧 1 à 1 à ， 䁧à 䁧 1 à ， à Ø 1 à ， 解得 Ø à Ø 1 ， 故选：B． 构造函数 䁧à Á 䁧à à ，求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式． 本题考查了函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：9 解析：解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为 䁧1根据抛物线定义可知点 p 到焦点的距离与到准线的距离相等， ᦙ 1 Á 1 ，求得 Á ， 故答案为：9 先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而根据抛物线的定义可知点 p 到焦点的距离与到准线的距离相 等，进而推断出 ᦙ 1 Á 1 ，求得 即可． 本题主要考查了抛物线的简单性质和抛物线的定义的应用．抛物线上的点到焦点距离与到准线距离 相等，常可用来解决涉及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题． 14.答案：126 解析： 本题考查等比数列的判断以及等比数列的前 n 项和公式，属于基础题． 因为 ᦙ1 Á Ø Á ，所以 ᦙ1 Á Ø ，故 # 为等比数列，再运用等比数列的前 n 项和公式求解，即可 得到答案． 解：因为 ᦙ1 Á Ø Á ， 所以 ᦙ1 Á Ø ， 故 # 为等比数列， 所以其前 6 项和为 Ø䁧1ÁØ Ǥ 1ÁØ Á 1ØǤ ． 15.答案： 4 解析： 本题考查三棱锥的结构特征，以及球的表面积，属于中档题． 先求出球的半径，再由题意可得球心位置，利用勾股定理进行求解． 解：设球 O 的半径为 R，由球的表面积为 4 Ø Á 1Ǥ ，故 Á Ø ， 由 Á º Á Á ， 可知点 P 在平面 ABC 内的射影恰好是 º 的外心 M， 显然 䁕 Ø Ø ， 则球心 O 在 PM 的延长线上， 由勾股定理可得 º Ø Á 䁕 Ø Á º Ø Á 䁕 Ø ， 即 Á 䁕 Ø Á 4 Á 䁧Ø Á 䁕 Ø ， 解之得 䁕 Á 4 ． 故答案为 4 ． 16.答案： 1 Ø ᦙ 解析： 本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于 a 的不等式组，是解答的关键． 若 䁧à Á Á à ᦙ à Ø 1 à à1 是 R 上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数， 且 à Á 1 时， 第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于 a 的不等式组，解不等式组可得实数 a 的取 值范围． 解： 䁧à Á Á à ᦙ à Ø 1 à à1 是 R 上的单调函数， Á 1 ᦙ 解得： 1 Ø ， 故实数 a 的取值范围为 1 Ø ᦙ ， 故答案为 1 Ø ᦙ ． 17.答案：解： 䁧1 根据题意， º 中，有 ܿሻº ᦙ ܿሻ Á Øܿሻ䁪 ， 则有 ܿሻº ᦙ ܿሻ Á Ø ᦙܿ Ø Á Ø Øܿ ᦙ Ø ᦙܿ Ø Á Ø Øܿ Á Øܿ Ø Øܿ Á ܿ ， 则有 ܿ Á Øܿሻ䁪 ， 变形可得： ሻ䁪 Á 1 Ø ， 又由 Ø Ø ， 则 Á Ǥ 或 䁪 Ǥ ； 䁧Ø 根据题意， Á Ø ， ܿ Á 1 ，分 2 种情况讨论： 当 Á Ǥ 时，有 1 Á Ø ᦙ 1Ø Á Ø Ø cos Ǥ ， 解可得 Á 쳌 ， 此时 Á 1 Ø ሻ䁪 Ǥ Á 쳌 Ø ； 当 Á 䁪 Ǥ 时，有 1 Á Ø ᦙ 1Ø Á Ø Ø cos 䁪 Ǥ ， 解可得 Á 1 ， 此时 Á 1 Ø ሻ䁪 䁪 Ǥ Á Ø ． 解析：本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理与和余弦定理的应用，注意求出 C 的值有 2 种 情况，属于中档题． 䁧1 根据题意，由余弦定理分析可得 ܿሻº ᦙ ܿሻ Á Ø ᦙܿ Ø Á Ø Øܿ ᦙ Ø ᦙܿ Ø Á Ø Øܿ Á Øܿ Ø Øܿ Á ܿ ，进而可得 ܿ Á Øܿሻ䁪 ，变形可得： ሻ䁪 Á 1 Ø ，由 C 的范围分析可得答案； 䁧Ø 根据题意，有 䁧1 的结论，分 Á Ǥ 或 䁪 Ǥ 讨论，分别求出 a 的值，进而由三角形面积公式计算可得 答案． 18.答案：解： 䁧 Ⅰ 由已知得，抽取的 100 名学生中，男生 60 名，女生 40 名． 分数小于 110 分的学生中，男生有 Ǥ .䁪 Á 䁧 人 ，记为 1 ， Ø ， ； 女生有 4 .䁪 Á Ø䁧 人 ，记为 º1 ， ºØ ． 从中随机抽取 2 名学生，所有的可能结果共有 10 种，它们是： 䁧1Ø ， 䁧1 ， 䁧Ø ， 䁧1º1 ， 䁧1ºØ ， 䁧غ1 ， 䁧ØºØ ， 䁧º1 ， 䁧ºØ ， 䁧º1ºØ ， 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有 6 种，它们是： 䁧1º1 ， 䁧1ºØ ， 䁧غ1 ， 䁧ØºØ ， 䁧º1 ， 䁧ºØ ， 故所求的概率 Á Ǥ 1 Á 䁪 ． 䁧 Ⅱ 由频率分布直方图可知，在抽取的 100 名学生中， 男生有“数学尖子生” Ǥ .Ø䁪 Á 1䁪䁧 人 ， 女生有“数学尖子生” 4 .쳌䁪 Á 1䁪䁧 人 ． 据此可得 Ø Ø 列联表如下： 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合计 30 70 100 所以得 Ø 的观测值 Á 1䁧1䁪Ø䁪Á1䁪4䁪 Ø Ǥ4쳌 Á Ø䁪 14 1.쳌 ． 因为 1.쳌 Ø Ø.쳌Ǥ. 所以没有 䁥 的把握认为“数学尖子生与性别有关”． 解析：解析： 本题考查古典概型及独立性检验，同时考查分层抽样及频率分布直方图，属基础题． 䁧 Ⅰ 由直方图及分层抽样得男生和女生抽取的人数，然后利用古典概型求解即可 䁧 Ⅱ 由已知得 Ø Ø 列联表，然后计算 Ø 的观测值即可求解． 19.答案： 䁧1 解：由正 䁧 主 视图可知圆锥的高 Á Ø ，圆 O 的直径为 º Á Ø ，故半径 Á 1 ． 圆锥的母线长 º Á Ø ᦙ º Ø Á ， 圆锥的侧面积 Á 쳌 Á 1 Á . 䁧4 分 䁧Ø 证明：连接 OC， Á ，D 为 AC 的中点， 香 ． 圆 O， 圆 O， ． 香 Á ， 平面 POD． 又 平面 PAC， 平面 平面 香䁧 分 䁧 解： º 是直径， º Á ，又 º Á Ǥ ， º Á Ø Á Ø 三棱锥 Á º 的体积为 1 Ø Ø Á Ǥ Ǥ ， º 中， º Á º Á Á ， º Á 4 ， 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，则 1 4 Á Ǥ Ǥ ， Á Ø Ø . 䁧1Ø 分 解析： 䁧1 确定圆的半径，求出圆锥的母线长，可得圆锥的侧面积 S； 䁧Ø 连接 OC，先根据 是等腰直角三角形证出中线 香 ，再结合 证出 香 ， 利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面 香 平面 PAC； 䁧 若 º Á Ǥ 利用等体积转化，可求出距离， 本题考查三视图，考查面面垂直，考查侧面积与体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20.答案：解： 䁧 Ⅰ 由题意， 1䁧 Á 1 ， Ø䁧1 ， ܿ Á 1 ， 1Ø 的周长为 6， 1 ᦙ Ø ᦙ Øܿ Á Ø ᦙ Øܿ Á Ǥ ， Á Ø ， Á ， 椭圆的标准方程为 à Ø 4 ᦙ Ø Á 1 ． 䁧 Ⅱ 假设存在常数 满足条件． 䁧1 当过点 T 的直线 AB 的斜率不存在时， 䁧 ， º䁧 Á ， º ᦙ º ÁÁ ᦙ 䁧 Á 1䁧 Á Á 1 ÁÁ Á Ø ÁÁ 쳌 ， 当 Á Ø 时， º ᦙ º ÁÁ 쳌 ． 䁧Ø 当过点 T 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 Á à ᦙ 1 ， 设 䁧à11 ， º䁧àØØ ， 联立 à Ø 4 ᦙ Ø Á 1 Á à ᦙ 1 ，化简，得 䁧 ᦙ 4 Ø à Ø ᦙ à Á Á ， à1 ᦙ àØ ÁÁ 4 Ø ᦙ ， à1àØ ÁÁ 4 Ø ᦙ ， º ᦙ º Á à1àØ ᦙ 1Ø ᦙ à1àØ ᦙ 䁧1 Á 1䁧Ø Á 1 Á 䁧1 ᦙ 䁧1 ᦙ Ø à1àØ ᦙ 䁧à1 ᦙ àØ ᦙ 1 ÁÁ 䁧1 ᦙ 䁧1 ᦙ Ø 4 Ø ᦙ Á Ø 4 Ø ᦙ ᦙ 1 Á 䁧Á䁧ᦙØ Ø ᦙ1ᦙ 4 Ø ᦙ ᦙ 1 ÁÁ 쳌 ， ᦙØ 4 Á 1ᦙ Á 1 ，解得 Á Ø ， 即 Á Ø 时， º ᦙ º ÁÁ 쳌 ， 综上所述，存在常数 Á Ø ，使得 º ᦙ º ÁÁ 쳌 恒成立． 解析： 䁧 Ⅰ 由题意， 1䁧 Á 1 ， Ø䁧1 ， ܿ Á 1 ， 1 ᦙ Ø ᦙ Øܿ Á Ø ᦙ Øܿ Á Ǥ ，由此能求出椭 圆的标准方程． 䁧 Ⅱ 假设存在常数 满足条件．当过点 T 的直线 AB 的斜率不存在时，求出当 Á Ø 时， º ᦙ º ÁÁ 쳌 ；当过点 T 的直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 Á à ᦙ 1 ，联立 à Ø 4 ᦙ Ø Á 1 Á à ᦙ 1 ， 得 䁧 ᦙ 4 Ø à Ø ᦙ à Á Á ，由此利用韦达定理、向量的数量积公式，结合已知条件推导出存在常 数 Á Ø ，使得 º ᦙ º ÁÁ 쳌 恒成立． 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，考查椭圆、直线 方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 21.答案：解： 䁧1 根据题意，当 Á Ø 时， 䁧à Á ØàÁØ Á Øà Ø ᦙ Øà Á 1 ，则 䁧1 Á ，其导数 ൐䁧à Á Ø ØàÁØ Á 4à ᦙ Ø ，则切线的斜率 Á ൐䁧1 Á ，则切线的方程为 Á ； 䁧Ø 若 à 1 ，则 ØàÁØ Á 1 ，又由 ൐䁧à Á Ø ØàÁØÁ Øà ᦙ Ø ，令 䁧à Á ൐䁧à Á Ø ØàÁØ Á Øà ᦙ Ø ， 䁧à 1 ，则 ൐䁧à Á 4 ØàÁØ Á Ø ，分 2 种情况讨论： 当 Ø 时， ൐䁧à Á 4 ØàÁØ Á Ø ， 䁧à 即 ൐䁧à 在 1 ᦙ 上为增函数，则有 ൐䁧à ൐䁧1 Á ， 则 䁧à 在 1 ᦙ 上为增函数；故有 䁧à 䁧1 Á 成立； 当 Ø 时，令 ൐䁧à Á 4 ØàÁØ Á Ø Á ，解可得 ，当 时， ൐䁧à Ø ， ൐䁧à 在 上为减函数， ൐䁧à Ø ൐䁧1 Á ，故 䁧à 在 上递减， 䁧à Ø 䁧1 Á ，不符合题意； 综上可知：a 的取值范围是 䁧 Á Ø ． 解析：本题考查导数的几何意义及单调性解决取值问题，属于较难题． 䁧1 利用导数几何意义解决问题； 䁧Ø 求导解决函数的取值问题． 22.答案：解： 䁧1 曲线 C 的参数方程为 à Á ᦙ 䁪ܿሻ ÁÁ 4 ᦙ 䁪ሻ䁪 䁧 为参数 ，转换为直角坐标方程为 䁧à Á Ø ᦙ 䁧 ᦙ 4 Ø Á Ø䁪 ， 转换为极坐标方程为 Ø ᦙ ሻ䁪 Á Ǥܿሻ Á ，化简为 Á Ǥܿሻ Á ሻ䁪 ． 䁧Ø 过点 䁧Ø ，倾斜角为 4 的直线 l，整理得参数方程为 à Á Ø ᦙ Ø Ø Á Ø Ø 䁧 为参数 ， 把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得： Ø ᦙ Ø Á Á ， 所以 1 ᦙ Ø ÁÁ Ø ， 1Ø ÁÁ ， 所以 1 䁕 ᦙ 1 Á 1ÁØ 1Ø Á 䁧1ᦙØØÁ41Ø 1Ø Á 1ᦙØ Á 䁪 Ø ． 解析： 䁧1 直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． 䁧Ø 利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关 系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解： 䁧1䁧à Á Øà Á Ø ᦙ à ᦙ Á à ᦙ 1à 1 Á à ᦙ 䁪 Á à 1 Á à Á 1à ØÁ ． 䁧à Øà ᦙ 䁪 ， à ᦙ 1 Øà ᦙ 䁪 à 1 或 Á à ᦙ 䁪 Øà ᦙ 䁪 Á à 1 或 Á à Á 1 Øà ᦙ 䁪 à ØÁ ， à 4 或 Á à 或 à ØÁ ， à 或 à 4 ， 不等式的解集为 àà 或 à 4# ． 䁧Ø 由 䁧 Ⅰ 知 䁧à䁪 Á Á 4 ． 䁧 ᦙ ܿ Á Á 4 ， ᦙ ܿ Á 4 ， Ø Ø ᦙ Ø ᦙ ܿ Ø Á 䁧 Ø ᦙ Ø ᦙ 䁧 Ø ᦙ ܿ Ø Ø ᦙ Øܿ Á ， 当且仅当 Á Á ܿ Á Ø 时取等号， Ø Ø ᦙ Ø ᦙ ܿ Ø ． 解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想， 属中档题． 䁧1 将 䁧à 写为分段函数的形式，然后根据 䁧à Øà ᦙ 䁪 ，分别解不等式组即可； 䁧Ø 先根据 䁧1 求出 䁧à 的最小值 k，然后由 Ø Ø ᦙ Ø ᦙ ܿ Ø Á 䁧 Ø ᦙ Ø ᦙ 䁧 Ø ᦙ ܿ Ø 利用基本不等式求 出 Ø Ø ᦙ Ø ᦙ ܿ Ø 的最小值即可．