高中数学好题经典-有难度 65页

1；设函数 的图象在点 处的切线的斜率为 ，且函数 为偶函数．若函数 满足下列条件：① ；②对一切实 数 ，不等式 恒成立． （Ⅰ）求函数 的表达式； （Ⅱ）求证： ． （Ⅰ）解：由已知得： ． ……………1 分 由 为偶函数，得 为偶函数， 显然有 ． …………2分 又 ，所以 ，即 ． …………3分 又因为 对一切实数 恒成立， 即对一切实数 ，不等式 恒成立． …………4分 显然，当 时，不符合题意． …………5 分 当 时，应满足 注意到 ，解得 ． …………7分 所以 ． ……………8 分 （Ⅱ）证明：因为 ，所以 ．………9分 要证不等式 成立, 即证 ． …………10 分 因为 , …………12 分 所以 ． 所以 成立． ……………14 分 2；已知函数： （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问： 在什么范围取值时，函 数 在区间 上总存在极值？ (3)求证： ． 解：（1） (1 分), 当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；…………2分 当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 ；…………3分 当 时， 不是单调函数…………4分 （2）因为函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ， 所以 ，所以 ， ， ……………..…6分 ， …………………………………….……7分 要使函数 在区间 上总存在极值，所以只需 ， ………………ks5u……..……9 分 解得 ………………………………………………………10 分 ⑶令 此时 ，所以 ， 由⑴知 在 上单调递增，∴当 时 ， 即 ，∴ 对一切 成立，………12分 ∵ ，则有 ，∴ …………14 分 来源： 江西省重点中学协作体 2012届高三联考（数学理） 已知函数 = ， . (Ⅰ)求函数 在区间 上的值域； （Ⅱ）是否存在实数 ，对任意给定的 ，在区间 上都存在两个不同的 ，使 得 成立.若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数 图象上任意不同的两点 ，如果对于函数 图象上的点 （其中 总能使得 成 立，则称函数具备性质“ ”，试判断函数 是不是具备性质“ ”，并说明理由. 解：(Ⅰ) 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减,且 的值域为 ………………3分 （Ⅱ）令 ，则由(Ⅰ)可得 ，原问题等价于：对任意的 在 上总有两个不同的实根，故 在 不可能是单调函数 …………………5 分 当 时, ,.s 在区间 上递减，不合题意 当 时, , 在区间 上单调递增，不合题意 当 时, , 在区间 上单调递减，不合题意 当 即 时, 在区间 上单调递减; 在区间 上单递增，由上可 得 ，此时必有 的最小值小于等于 0 而由 可得 ，则 综上，满足条件的 不存在。………………………..8 分 （Ⅲ）设函数 具备性质“ ”，即在点 处的切线斜率等于 ，不妨设 ，则 ，而 在点 处的切线斜率 为 ， 故有 ………………10 分 即 ，令 ，则上式化为 ， ………………12 分 令 ，则由 可得 在 上单调递增， 故 ，即方程 无解，所以函数 不具备性质 “ ”. ……………………14分 3；已知 a>0,函数 . （Ⅰ）设曲线 在点（1，f(1))处的切线为 ,若 与圆 相切，求 a的值； （Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间； （Ⅲ）求函数 f(x)在[0,1]上的最小值. 解：（Ⅰ）依题意有 过点 的切线的斜率为 ， 则过点 的直线方程为 ……………………………………… 2分 又已知圆的圆心为（-1，0），半径为 1 ∴ ，解得 ……………………………………………………… 4分 （Ⅱ） ∵ ，∴ 令 解得 ，令 ，解得 所以 的增区间为 ，减区间是 ………………………………8分 （Ⅲ） 当 ，即 时， 在[0,1]上是减函数 所以 的最小值为 …………………………………………………………9分 ‚当 即 时 在 上是增函数，在 是减函数…………………………………10 分 所以需要比较 和 两个值的大小 因为 ，所以 ∴当 时最小值为 a， 当 时，最小值为 ………………………………………………………12 分 ƒ当 ，即 时， 在[0,1]上是增函数 所以 最小值为 …………………………………………………………………13分 综上，当 时， 为最小值为 a 当 时， 的最小值为 .……………………………………………………14 分  难度： 使用次数：25 入库时间：2011-12-01 [+]试题篮 来源： 浙江省绍兴市绍兴一中 2011学年第一学期高三期中考试试卷 数学（理） 已知函数 （Ⅰ）若函数 是定义域上的单调函数，求实数 的最小值； （Ⅱ）方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围； （Ⅲ）在函数 的图象上是否存在不同两点 ，线段 的中点的横坐标为 ， 有 成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解（Ⅰ） 1分 若函数 在 上递增，则 对 恒成立，即 对 恒成立， 而当 时， 若函数 在 上递减，则 对 恒成立，即 对 恒成立， 这是不可能的． 综上， 的最小值为 1． 4 分 （Ⅱ）解 1、由 令 得 =0的根为 1，所以 当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减， 所以 在 处取到最大值 ，又 ， ， 所以要使 与 有两个不同的交点，则有 ……………8 分 （Ⅲ）假设存在，不妨设 9 分 若 则 ，即 ，即 ． （*） 12 分 令 ， （ )， 则 ＞0．∴ 在 上增函数， ∴ ， ∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴ 因此，满足条件的 不存 在． 15 分  难度： 使用次数：21 入库时间：2011-11-28 [+]试题篮 来源： 湖北省鄂州市 2012届高三摸底考试数学试题（理科） 已知函数： ⑴讨论函数 的单调性； ⑵若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 45 o ，对于任意的 ，函数 在区间 上总不是单调函数，求 m的取值范围； ⑶求证： ． 答案 >> 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用  难度： 使用次数：23 入库时间：2011-11-11 [+]试题篮 来源： 江苏省苏北四市 2012届高三第一次调研测试（数学） 已知正方形 的中心在原点，四个顶点都在函数 图象上． （1）若正方形的一个顶点为 ，求 ， 的值，并求出此时函数的单调增区间； （2）若正方形 唯一确定，试求出 的值． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 ⑴因为 ，所以 ，因此 ， 所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，…………………………2分 由 得 ，由 ，得 ．…4分 ⑵因为 ， 所以 ，由题意知 在 上有解， 因为 ，设 ，因为 ， 则只要 解得 ， 所以 b的取值范围 ．………………………………………………………………8 分 ⑶不妨设 ．因为函数 在区间 上是增函数，所以 ， 函数 图象的对称轴为 ，且 ， （ⅰ）当 时，函数 在区间 上是减函数，所以 ， 所以 等价于 ， 即 ， 等价于 在区间 上是增函数， 等价于 在区间 上恒成立， 等价于 在区间 上恒成立， 所以 ，又 ， 所以 ；………………………………………………………………………………………10分 （ⅱ）当 时，函数 在区间 上是减函数，在 上为增函数． ①当 时， 等价于 ， 等价于 在区间 上是增函数， 等价于 在区间 上恒成立， 等价于 在区间 上恒成立， 所以 ，又 ， 所以 ；……………………………………………………………………………12 分 ②当 时， 等价于 ， 等价于 在区间 上是增函数， 等价于 在区间 上恒成立， 等价于 在区间 上恒成立， 所以 ，故 ．………………………………………………………………14分 ③当 时， 由 图象的对称性知，只要 对于①②同时成立，那么对于③， 则存在 ， 使 恒成立； 或存在 ， 使 恒成立． 因此， ． 综上，b的取值范围是 ．……………………………………………………16 分  难度： 使用次数：21 入库时间：2011-10-23 [+]试题篮 来源： 扬州市中学 2011～2012学年度第一学期期初调研测试高三数学试题 已知函数 （ 是自然对数的底数）. （1）若曲线 在 处的切线也是抛物线 的切线，求 的值； （2）若对于任意 恒成立，试确定实数 的取值范围； （3）当 时，是否存在 ，使曲线 在点 处的切线斜率 与 在 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 的个数；若不存在，请说明理由. 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1） ，所以在 处的切线为 即： ………………………………2 分 与 联立，消去 得 ， 由 知， 或 . ………………………………4分 （2） ①当 时， 在 上单调递增，且当 时， ， ，故 不恒成立，所以 不合题意 ；………………6分 ②当 时， 对 恒成立，所以 符合题意； ③当 时令 ，得 ， 当 时， ， 当 时， ，故 在 上是单调递减，在 上 是单调递增, 所以 又 ， ， 综上： . ………………………………10 分 (3)当 时，由（2）知 ， 设 ，则 ， 假设存在实数 ，使曲线 在点 处的切线斜率与 在 上 的最小值相等， 即为方程的解，………………………………13 分 令 得： ，因为 ， 所以 . 令 ，则 ， 当 是 ，当 时 ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增， ,故方程 有唯一解为 1， 所以存在符合条件的 ，且仅有一个 . ……………………16 分  难度： 使用次数：16 入库时间：2011-08-10 [+]试题篮 来源： 安徽省宣城市 2011届高三第二次调研测试数学（理）试题 已知函数 . ⑴若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 和 的值； ⑵求证； 对任意 恒成立的充要条件是 ； ⑶若 ，且对任意 、 ，都 ，求 的取值范围. 答案 >> 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用  难度： 使用次数：20 入库时间：2011-06-20 [+]试题篮 来源： 2011年普通高等学校招生统一考试湖南省理科数学卷解析 已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。 （Ⅰ）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数。并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 M,使得 对 于任意的 ，都有 ≤ . 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用  难度： 使用次数：18 入库时间：2011-06-20 [+]试题篮 来源： 2011年普通高等学校招生统一考试湖南省理科数学卷解析 已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。 （Ⅰ）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数。并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 M,使得 对 于任意的 ，都有 ≤ . 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用  难度： 使用次数：30 入库时间：2011-06-16 [+]试题篮 来源： 2011年普通高等学校招生全国统一考试 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． （I）求 a，b的值； （II）如果当 x>0，且 时， ，求 k的取值范围． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解： （Ⅰ） 由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即 解得 ， 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 。 考虑函数 ，则 。 (i)设 ，由 知，当 时， 。而 ， 故 当 时， ，可得 ； 当 x （1，+ ）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当 x>0，且 x 1 时，f（x）-（ + ）>0，即 f（x）> + . （ii）设 00，故 (x）>0，而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。 （iii）设 k 1.此时 （x）>0，而 h（1）=0，故当 x （1，+ ）时，h（x）>0，可得 h（x） <0，与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（- ，0] 解：（2）由（1）知 ． 故要证： 只需证 为去分母，故分 x>1 与 01 时，需证 即 即需证 ． （1） 设 ，则 由 x>1 得 ，所以 在（1，+ ）上为减函数．又因 g（1）=0 所以 当 x>1 时 g（x）<0 即（1）式成立． 同理 00 时， ，因为 ，所以 在 上恒成立，故 F(x)在 上单调递 增， ，故 m 的取值范围是 …………（15分） 另法:(3) 令  难度： 使用次数：43 入库时间：2011-05-08 [+]试题篮 来源： 黑龙江省哈三中四校联考 2011届高三一模考试（数学理） 已知函数 （ ， ）， ． （Ⅰ）证明：当 时，对于任意不相等的两个正实数 、 ，均有 成立； （Ⅱ）记 ， （ⅰ）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （ⅱ）证明： . 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 （Ⅰ）证明： ， ， ，则 ① ，则 ，② 由①②知 ．……………………………… 分 （Ⅱ）（ⅰ） ， ， 令 ，则 在 上单调递增． ，则当 时， 恒成立， 即当 时， 恒成立． …………………………… 5 分 令 ，则当 时， ， 故 在 上单调递减，从而 ， 故 ．……………………………………………………７分 （ⅱ）法一： ， 令 ， 则 表示 上一点 与直线 上一点 距离的平方．… 8 分 令 ，则 ， 可得 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 ，则 ，…………………………………… 10 分 直线 与 的图象相切与点 ， 点 到直线 的距离为 ， 则 ， 故 ．……………………………………………………12分 法二： ， 令 ，则 ．………………8分 令 ，则 ，显然 在 上单调递减，在 上单调 递增，………………………………………………………………………………10 分 则 ，则 ，故 ．…………………12 分  难度： 使用次数：55 入库时间：2011-04-29 [+]试题篮 来源： 陕西省西安市 2011届高三五大名校第一次模拟考试（数学理） 已知函数 ，函数 是区间[-1，1]上的减函数. （I）求 的最大值； （II）若 上恒成立，求 t的取值范围； （Ⅲ）讨论关于 x的方程 的根的个数． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解：（I） ， 上单调递减， 在[-1，1]上恒成立， ，故 的最大值为 ……4分 （II）由题意 （其中 ），恒成立， 令 ， 则 ， 恒成立， …………9 分 （Ⅲ）由 令 当 上为增函数； 当 时， 为减函数； 当 而 方程无解； 当 时，方程有一个根； 当 时，方程有两个根. …………14 分  难度： 使用次数：53 入库时间：2011-04-22 [+]试题篮 来源： 湖南省长沙长望浏宁四县市 2011届高三 3月调研考试数学（理）试题 (本小题满分 13 分) 已知函数 ， 为正常数． （1）若 ，且 ，求函数 的单调增区间； （2）若 ，且对任意 ， ，都有 ，求 的的 取值范围． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解：⑴ ，…2分 ∵ ，令 ，得 ，或 ， ∴函数 的单调增区间为 ， 。 6分 ⑵∵ ，∴ ， ∴ ， 8分 设 ，依题意， 在 上是减函数。 当 时， ， ， 令 ，得： 对 恒成立， 设 ，则 ， ∵ ，∴ ， ∴ 在 上是增函数，则当 时， 有最大值为 ， ∴ 。 10 分 当 时， ， ， 令 ，得： ， 设 ，则 ， ∴ 在 上是增函数，∴ ， ∴ ， 12 分 综上所述， . 13 分  难度： 使用次数：54 入库时间：2011-04-19 [+]试题篮 来源： 山东省潍坊三县 2011届高三阶段性教学质量检测数学（理）试题 （本小题满分 14分） 已知 （1）求函数 上的最小值； （2）对一切 恒成立，求实数 的取值范围； （3）证明：对一切 ，都有 成立. 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）由已知知函数 的定义域为 ， ，……………1分 当 单调递减，当 单调递增.…2 分 ① ，没有最小值； ……………………………………………………3分 ② ，即 时， ； …………………4分 ③ ，即 时， 上单调递增， ； 5分 所以 ……………………………………………6分 （2） ，则 ，…………………………7分 设 ，则 ， ① 单调递减， ② 单调递增， 所以 ，对一切 恒成立， 所以 ；………………………………………………10分 （3）问题等价于证明 ，…………………………11 分 由（1）可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到， 设 ，则 ， 易知 ，当且仅当 时取到，…………………………13分 从而对一切 ，都有 成立 ……………………14 分  难度： 使用次数：86 入库时间：2011-04-07 [+]试题篮 来源： 广东省深圳市 2011届高三第一次模拟考试数学（理）试题 （本小题满分 14分） 已知函数 ． （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围； （2）当 时，试比较 与 的大小； （3）求证： （ ）． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）当 时， ，定义域是 ， ， 令 ，得 或 ． …2分 当 或 时， ，当 时， ， 函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减． ……………4分 的极大值是 ，极小值是 ． 当 时， ； 当 时， ， 当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 ．……………5 分 （2）当 时， ，定义域为 ． 令 ， ， 在 上是增函 数． …………………………………7 分 ①当 时， ，即 ； ②当 时， ，即 ； ③当 时， ，即 ． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 ． 令 ，则有 ， ． ……………12 分 ． ………………………………… …14 分 (法二)当 时， ． ， ，即 时命题成立． ………………………………10分 设当 时，命题成立，即 ． 时， ． 根据（2）的结论，当 时， ，即 ． 令 ，则有 ， 则有 ，即 时命题也成立．……………13 分 因此，由数学归纳法可知不等式成 立． ………………………………14 分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得 ．……11 分 ， ． ………………………………12分 ， 又 ， ， ． ． ………………………………… 14 分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨 论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．  难度： 使用次数：42 入库时间：2011-04-07 [+]试题篮 来源： 广东省深圳市 2011届高三第一次模拟考试数学（理）试题 （本小题满分 14分） 已知函数 ． （1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围； （2）当 时，试比较 与 的大小； （3）求证： （ ）． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）当 时， ，定义域是 ， ， 令 ，得 或 ． …2分 当 或 时， ，当 时， ， 函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减． ……………4分 的极大值是 ，极小值是 ． 当 时， ； 当 时， ， 当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 ．……………5 分 （2）当 时， ，定义域为 ． 令 ， ， 在 上是增函 数． …………………………………7 分 ①当 时， ，即 ； ②当 时， ，即 ； ③当 时， ，即 ． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当 时， ，即 ． 令 ，则有 ， ． ……………12 分 ，[来源:学科网 ZXXK] ． ………………………………… …14 分 (法二)当 时， ． ， ，即 时命题成立． ………………………………10分 设当 时，命题成立，即 ． 时， ． 根据（2）的结论，当 时， ，即 ． 令 ，则有 ， 则有 ，即 时命题也成立．……………13 分 因此，由数学归纳法可知不等式成 立． ………………………………14 分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得 ．……11 分 ， ． ………………………………12分 ， 又 ， ， ． ． ………………………………… 14 分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨 论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．  难度： 使用次数：61 入库时间：2011-03-31 [+]试题篮 来源： 江西省重点中学联盟 2011届高三第一次联考（数学理） （本题满分 14分） 已知函数 （ 为自然对数的底数）． （1）求 的最小值； （2）不等式 的解集为 ，若 且 求实数 的取值范围； （3）已知 ，且 ，是否存在等差数列 和首项为 公比大于 0的等比数 列 ，使得 ？若存在，请求出数列 的通项公 式．若不存在，请说明理由． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1） 1分 由 当 ；当 …4分 （2） ， 有解 由 即 上有解 …6 分 令 ， 上减，在[1，2] 上增 又 ，且 … 8分 （3）设存在公差为 的等差数列 和公比 首项为 的等比数列 ，使 …10分 又 时， 故 ②-①×2得， 解得 （舍） 故 …12 分 此时 存在满足条件的数列 满足题意 …14 分  难度： 使用次数：70 入库时间：2011-03-30 [+]试题篮 来源： 山东省济南市 2011届高三教学质量调研（一模）数学（理）试题 （本小题满分 14分） 已知函数 (1) 当 时，求函数 的最值； (2) 求函数 的单调区间； (3) 试说明是否存在实数 使 的图象与 无公共点. 答案 >> 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用   难度： 使用次数：63 入库时间：2011-03-28 [+]试题篮 来源： 浙江省温州中学 2011届高三三月月考数学（文）试题 已知函数 ，过点 P（0，m）作曲线 的切线，斜率恒大于零，则 的取值范围为 . 答案 << 纠错[永久链接] 题型：填空题 知识点：2.4导数及其应用  难度： 使用次数：42 入库时间：2011-03-27 [+]试题篮 来源： 浙江省六校 2011届高三 2月联考数学（文）试题 已知二次函数 的导函数为 ， 与 轴恰有一个交点，则 的最小值为 （ ） （A） 2 （B） （C） 3 （D） 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 A  难度： 使用次数：64 入库时间：2011-03-21 [+]试题篮 来源： 江苏省宿豫中学 2011届高三第二次模拟考试（数学） 已知函数 （1）、若函数 在 处的切线方程为 ，求 的值； （2）、若函数 在 为增函数，求 的取值范围； （3）、讨论方程 解的个数，并说明理由。 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）因为： ，又 在 处的切线方程为 所以 解得： ………3分 （2）若函数 在 上恒成立。则 在 上恒成立， 即： 在 上恒成立。所以有 ……3 分 （3）当 时， 在定义域 上恒大于 ，此时方程无解；……7 分 当 时， 在 上恒成立，所以 在定义域 上为增函数。 ， ，所以方程有惟一解。……8 分 当 时， 因为当 时， ， 在 内为减函数； 当 时， 在 内为增函数。 所以当 时，有极小值即为最小值 。……10分 当 时， ，此方程无解； 当 时， 此方程有惟一解 。 当 时， 因为 且 ，所以方程 在区间 上有惟一解，……12 分 因为当 时， ，所以 所以 因为 ，所以 所以 方程 在区间 上有惟一解。 所以方程 在区间 上有惟两解。 ……14 分 综上所述：当 时，方程无解； 当 时，方程有惟一解； 当 时方程有两解。 ……14分  难度： 使用次数：94 入库时间：2009-03-17 [+]试题篮 来源： 2007年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷.理） 设函数 f(x)=x2 +b ln(x+1),其中 b≠0. (Ⅰ)当 b> 时，判断函数 f(x)在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数 f(x)的极值点； （Ⅲ）证明对任意的正整数 n,不等式 ln )都成立. 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 (I) 函数 的定义域为 . ， 令 ，则 在 上递增，在 上递减， . 当 时， ， 在 上恒成立. 即当 时,函数 在定义域 上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论： （1）由（I）知当 时函数 无极值点. （2）当 时， ， 时， 时， 时，函数 在 上无极值点。 （3）当 时，解 得两个不同解 ， . 当 时， ， ， 此时 在 上有唯一的极小值点 . 当 时， 在 都大于 0 ， 在 上小于 0 ， 此时 有一个极大值点 和一个极小值点 . 综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ； 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ； 时，函数 在 上无极值点。 （III） 当 时， 令 则 在 上恒正， 在 上单调递增，当 时，恒有 . 即当 时，有 ， 对任意正整数 ，取 得  难度： 使用次数：70 入库时间：2009-03-17 [+]试题篮 来源： 2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷.理） 已知函数 ，其中 ，a为常数 （Ⅰ）当 时，求函数 的极值； （Ⅱ）当 时，证明：对任意的正整数 n，当 时，有 答案 << 纠错[永久链接] 题型：计算题 知识点：2.4导数及其应用 （Ⅰ）解：由已知得函数 的定义域为 ， 当 n=2 时， 所以 . （1）当 a＞0时，由 =0 得 ＞1， ＜1， （2）此时 = . 当 x∈（1，x1）时， ＜0, 单调递减； 当 x∈（x1+∞）时， ＞0, 单调递增. 当 a≤0时， ＜0 恒成立，所以 无极值. 综上所述，n=2 时， 当 a＞0时, 在 处取得极小值，极小值为 当 a≤0时， 无极值. （Ⅱ）证法一：因为 a=1,所以 当 n为偶数时， 令 则 =1+ ＞0（x≥2）. 所以当 x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增， 又 g(2)=0 因此 ≥g(2)=0 恒成立， 所以 f(x)≤x-1 成立. 当 n为奇数时， 要证 ≤x-1,由于 ＜0，所以只需证 , 令 , 则 =1- ≥0（x≥2）, 所以当 x∈[2，+∞]时， 单调递增，又 h(2)=1＞0， 所以当 x≥2时，恒有 ＞0,即 命题成立. 综上所述，结论成立. 证法二：当 a=1 时， 当 x≤2，时，对任意的正整数 n，恒有 ≤1， 故只需证明 . 令 则 当 x≥2时， ≥0，故 h(x)在 上单调递增， 因此 当 x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即 1+ln(x-1) ≤x-1 成立. 故 当 x≥2时，有 ≤x-1. 即 f（x）≤x-1.  难度： 使用次数：103 入库时间：2009-03-17 [+]试题篮 来源： 2008年广东省珠海市高三年级第一次统一考试（文） 设函数 ，其中 为常数． （1）当 时，判断函数 在定义域上的单调性； （2）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点； （3）求证对任意不小于 3的正整数 ，不等式 都成立． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）由题意知， 的定义域为 ， 当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． （2）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点． ② 时， 有两个相同的解 ， 时， 时，函数 在 上无极值点． ③当 时， 有两个不同解， 时， ， , 此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表： 减 极小值 增 由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ， ii) 当 时，0< <1 此时， ， 随 的变化情况如下表： 增 极大值 减 极小值 增 由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； 综上所述： 当且仅当 时 有极值点; 当 时， 有惟一最小值点 ； 当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 （3）由(2)可知当 时，函数 ， 此时 有惟一极小值点 且  难度： 使用次数：115 入库时间：2009-03-17 [+]试题篮 来源： 2008年 5月山东省实验中学高三模拟考试（理） 设函数 ，其中 为常数． （Ⅰ）当 时，判断函数 在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数 的有极值点，求 的取值范围及 的极值点； （Ⅲ）当 且 时，求证： ． 答案 << 纠错[永久链接] 题型：综合题 知识点：2.4导数及其应用 解：（1）由题意知， 的定义域为 ， 当 时， ，函数 在定义域 上单调递增． （2）①由（Ⅰ）得，当 时，函数 无极值点． ② 时， 有两个相同的解 ， 时， 时，函数 在 上无极值点． ③当 时， 有两个不同解， 时， ， , 此时 ， 随 在定义域上的变化情况如下表： 减 极小值 增 由此表可知： 时， 有惟一极小值点 ， ii) 当 时，0< <1 此时， ， 随 的变化情况如下表： 增 极大值 减 极小值 增 由此表可知： 时， 有一个极大值 和一个极小值点 ； 综上所述： 当且仅当 时 有极值点; 当 时， 有惟一最小值点 ； 当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 （3）由(2)可知当 时，函数 ， 此时 有惟一极小值点 且 令函数