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- 2021-06-10 发布
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第八章 立体几何
§8.1
空间几何体的表面积与体积
高考数学
考点一 空间几何体的结构特征
1.多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
结构
特征
(1)有两个面互相平行,其余各个面都是四边形;
(2)每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面(即底面)是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分
侧棱
①
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
②
平行四边形
③
三角形
④
梯形
考点
清单
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
平行、相等且
垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
大圆
侧面展开图
⑤
矩形
⑥
扇形
⑦
扇环
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的
x
轴、
y
轴,两轴相交于点
O
,画直观图时,把它们
画成对应的
x
'轴、
y
'轴,两轴相交于点
O
',且使∠
x
'
O
'
y
'=45
°
(或135
°
),已知图
形中平行于
x
轴的线段,在直观图中长度⑧
保持不变
,平行于
y
轴的线
段,长度变为⑨
原来的一半
.
(2)画几何体的高
在已知图形中过点
O
作
z
轴垂直于平面
xOy
,在直观图中画出对应的
z
'轴,垂
直于平面
x
'
O
'
y
',已知图形中平行于
z
轴的线段,在直观图中平行于
z
'轴且
⑩
长度不变
.
3.用斜二测画法画直观图的步骤
考点二 空间几何体的体积
名称
体积
柱体
V
=
Sh
锥体
V
=
Sh
台体
V
=
(
S
+
S
'+
)
h
球体
V
=
π
R
3
考点三 空间几何体的表面积
1.多面体的表面积等于其各个面的面积之和.
2.圆柱、圆锥、圆台和球的表面积公式:
名称
表面积
侧面积
圆柱
S
=2π
r
2
+2π
rl
=2π
r
(
r
+
l
)
S
侧
=2π
rl
圆锥
S
=π
r
2
+π
rl
=π
r
(
r
+
l
)
S
侧
=π
rl
圆台
S
=π(
r
'
2
+
r
2
+
r
'
l
+
rl
)
S
侧
=π(
r
+
r
')
l
球
S
=4π
R
2
考法一
与表面积和体积有关的问题
知能拓展
例1
(2020届北京人大附中月考,17)在一张足够大的纸板上截取一个面积
为3 600平方厘米的矩形纸板
ABCD
,然后在矩形纸板的四个角上切去边长
相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如
图),设小正方形边长为
x
厘米,矩形纸板的两边
AB
、
BC
的长分别为
a
厘米和
b
厘米,其中
a
≥
b
.
(1)当
a
=90时,求纸盒侧面积的最大值;
(2)试确定
a
,
b
,
x
的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.
解析
(1)因为矩形纸板
ABCD
的面积为3 600平方厘米,所以当
a
=90时,
b
=4
0,从而包装盒子的侧面积
S
=2
x
(90-2
x
)+2
x
(40-2
x
)=-8
x
2
+260
x
,
x
∈(0,20),因为
S
=-8
x
2
+260
x
=-8(
x
-16.25)
2
+2 112.5,所以当
x
=16.25时,侧面积最大,最大值为2
112.5.
(2)包装盒子的体积
V
=(
a
-2
x
)(
b
-2
x
)
x
=
x
[
ab
-2(
a
+
b
)
x
+4
x
2
],
x
∈
,
b
≤
60,
V
=
x
[
ab
-2(
a
+
b
)
x
+4
x
2
]
≤
x
(
ab
-4
x
+4
x
2
)=
x
(3 600-240
x
+4
x
2
)=4
x
3
-240
x
2
+3 600
x
.
当且仅当
a
=
b
=60时等号成立,
设
f
(
x
)=4
x
3
-240
x
2
+3 600
x
,
x
∈(0,30),
则
f
'(
x
)=12(
x
-10)(
x
-30),
于是当0<
x
<10时,
f
'(
x
)>0,所以
f
(
x
)在(0,10)上单调递增;
当10<
x
<30时,
f
'(
x
)<0,所以
f
(
x
)在(10,30)上单调递减.
因此当
x
=10时,
f
(
x
)有最大值
f
(10)=16 000,
此时
a
=
b
=60,
x
=10.
答:当
a
=
b
=60,
x
=10时,纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.
方法总结
(1)若给定的几何体是柱体、锥体、球体或台体,则可直接利用
公式求体积;若给定的几何体是组合体或“截割体”,则常用转换、分割、
补形等方法将给定的几何体变成可求体积的几何体后再求体积.
(2)对于最值问题的研究,首先要引入自变量,建立起目标函数,利用函数的
性质求最值.
考法二
与球有关的切、接问题
例2
(2018河南安阳一模,16)在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径
为1的小球,晃动此正方体,则小球可以经过的空间的体积为
.
解题导引
解析
先考虑小球不能经过的空间的体积.
(1)当小球与正方体一顶点处的三个面都相切时,球面与该顶点处的三个面
之间形成的空隙小球始终无法经过,其体积为1
3
-
×
×
1
3
=1-
.正方体有8
个顶点,共形成8个无法经过的空隙,总体积为8
×
=8-
.
(2)小球只与正方体过同一条棱的两个面相切时,在该棱处能形成一个高为
2的小柱体,其体积为
×
2=2-
,正方体共有12条棱,则12个小柱体的体
积为
×
12=24-6π.
所以小球可以经过的空间的体积为64-
-(24-6π)=32+
.
答案
32+
π
例3
底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.
如图,半球内有一内接正四棱锥
S
-
ABCD
,该四棱锥的侧面积为4
,求该半
球的体积.
解题导引
要求半球的体积,需求其半径,因为是正四棱锥内接于半球,所
以球心为正四棱锥底面的中心
O
,因此
OC
=
SO
即为半径,设出半径
r
,可求出
SA
=
AB
;再由已知的侧面积建立等量关系求得
r
,从而求出半球体积.
解析
连接
AC
,
BD
交于点
O
,连接
SO
,设球的半径为
r
,由题意可知,
SO
=
AO
=
OC
=
OD
=
OB
=
r
.则
SA
=
AB
=
r
,四棱锥的侧面积为4
×
×
(
r
)
2
=4
,解得
r
=
.
所以该半球的体积为
V
=
×
π
×
(
)
3
=
π.
规律总结
1.“切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理:球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体.解答时
要找准切点,通过作截面来解决.
(2)“接”的处理:把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体.
解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等
于球的半径.
2.与球有关的组合体的常用结论
(1)长方体的外接球:
①球心:体对角线的交点;
②半径:
r
=
(
a
,
b
,
c
为长方体的长、宽、高).
(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱都相切的球:
①外接球:球心是正方体的中心,半径
r
=
a
(
a
为正方体的棱长);
②内切球:球心是正方体的中心,半径
r
=
(
a
为正方体的棱长);
③与各条棱都相切的球:球心是正方体的中心,半径
r
=
a
(
a
为正方体的棱
长).
(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分):
①外接球:球心是正四面体的中心,半径
r
=
a
(
a
为正四面体的棱长);
②内切球:球心是正四面体的中心,半径
r
=
a
(
a
为正四面体的棱长).
例
如图,圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,母线
AB
=18,从
AB
中点
M
处拉一条绳子绕圆台侧面转到
B
点.
(1)求绳子的最短长度;
(2)求绳子最短时,上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
实践探究
解题导引
我们知道两点之间线段最短,要求绳子的最短长度,我们如何将
其转化为两点间的线段长度问题?可沿
AB
将侧面展开为平面图形,然后在
平面图形中通过解三角形求解.
解析
(1)如图,画出圆台的侧面展开图(沿
AB
)并延长
BA
,
B
'
A
'交于点
O
,连接
MB
',则
MB
'的长即为绳子的最短长度.
设
OA
=
k
,∠
BOB
'=
α
,
∵圆台上底面半径为1,下底面半径为4,母线长
AB
=18,
∴2π=
αk
①,
8π=
α
(18+
k
)②,
由①②解得
α
=
,
k
=6.
∴
OM
=15,
OB
'=24.
在△
MOB
'中,由余弦定理得
MB
'
2
=15
2
+24
2
-2
×
15
×
24cos
=441.
∴
MB
'=21,∴绳子的最短长度为21.
(2)过
O
作
OE
⊥
B
'
M
,与弧
AA
'交于
F
,则
EF
的长即为所求.∵cos∠
OMB
'=
=
,∴sin∠
OMB
'=
,∴
OE
=
OM
sin∠
OMB
'=
,∴
EF
=
-6.
所以最短距离为
-6.
方法总结
利用“展图法”成功地将立体几何问题转化为平面几何问题;
此题用到将圆台“补成”圆锥再展开进行研究,这种割补拼凑的思想是重
要的数学思维方法.
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