2020版高中数学 第三章 不等式 5页

第1课时　基本不等式 课后篇巩固探究 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A组 ‎1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,则下列不等式正确的是 (　　)‎ A.ab≤1 B.ab≥1‎ C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4‎ 解析由已知可得ab≤=1,而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故只有A正确.‎ 答案A ‎2.若x>0,y>0,且x+y=,则xy的最大值为(　　)‎ A. B‎.2‎ C. D.‎ 解析由基本不等式可得xy≤,当且仅当x=y=时,xy取最大值.‎ 答案D ‎3.若实数a,b满足a+b=2,则‎3a+3b的最小值是(　　)‎ A.18 B‎.6 ‎C.2 D.2‎ 解析‎3a+3b≥2=2=2=6,当且仅当a=b=1时,取等号.故‎3a+3b的最小值是6.‎ 答案B ‎4.已知a,b均为正实数,则下列不等式不一定成立的是 (　　)‎ A.a+b+≥2‎ B.(a+b)≥4‎ C.≥a+b D.‎ 5‎ 解析A项,a+b+≥2≥2,当且仅当a=b=时等号同时成立;B项,(a+b)=2+≥4,当且仅当a=b时取等号;C项,=a+b,当且仅当a=b时取等号.故选D.‎ 答案D ‎5.若lg x+lg y=2,则的最小值为(　　)‎ A. B. C. D.2‎ 解析由lg x+lg y=2可知x>0,y>0,且xy=100,于是(x+y)≥·2,当且仅当x=y=10时,取等号.故的最小值为.‎ 答案B ‎6.已知a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(‎2a),则m,n,p的大小关系是　　　　　.(用“>”连接) ‎ 解析∵a>1,∴a2+1>‎2a>a+1,‎ ‎∴loga(a2+1)>loga(‎2a)>loga(a+1),∴m>p>n.‎ 答案m>p>n ‎7.已知t>0,则y=的最小值为　　　　. ‎ 解析y==t+-3≥2-3=-1,当且仅当t=1时,取等号.故函数的最小值为-1.‎ 答案-1‎ ‎8.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. ‎ 解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,‎ ‎∴.‎ 当且仅当b=时取等号.‎ 5‎ 答案 ‎9.已知a,b均为正实数,求证:+ab≥2.‎ 证明由于a,b均为正实数,所以≥2,当且仅当,即a=b时,等号成立.又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab≥+ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号.‎ ‎10.导学号04994085已知不等式ax2-3x+2<0的解集为A={x|10时,4x+≥2=2×6=12.当且仅当4x=,即x=时取等号.‎ 而x=∈A,故f(x)的最小值为12.‎ B组 ‎1.已知=2(a>0,b>0),则ab的最小值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4 B‎.5 ‎C.6 D.7‎ 解析∵=2(a>0,b>0),‎ 5‎ ‎∴2≥2,化为ab≥6,当且仅当a=3,b=2时取等号.∴ab的最小值是6.故选C.‎ 答案C ‎2.若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是 (　　)‎ A.a2+b2+c2≥2 B.a+b+c≤‎ C.≤2 D.(a+b+c)2≥3‎ 解析因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥‎2ac,于是a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1,故A错;而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)=3,故选项D正确;从而选项B错误;令a=b=c=,则ab+bc+ca=1,但=3>2,故选项C错误.‎ 答案D ‎3.已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ 解析取x=1,y=2,可得,因此最大的是.‎ 答案A ‎4.函数f(x)=的最小值等于　　　　. ‎ 解析由基本不等式可知f(x)=≥2=4,当且仅当,即x=4时取最小值.‎ 答案4‎ ‎5.已知a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中项是0,则的最小值是　　　　. ‎ 5‎ 解析由已知得lg a+lg b=0,即ab=1,于是=a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时,取等号.故的最小值是2.‎ 答案2‎ ‎6.已知函数f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　. ‎ 解析由基本不等式,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,a=36.‎ 答案36‎ ‎7.若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0.‎ ‎(1)求x2+y2的取值范围;(2)求证:xy≤2.‎ ‎(1)解由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,得(x2+y2+5)·(x2+y2-4)≤0,‎ 因为x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.故x2+y2的取值范围是[0,4].‎ ‎(2)证明由(1)知x2+y2≤4,所以xy≤=2,当且仅当x=y时,取等号.故xy≤2.‎ ‎8.导学号04994086已知a,b为正实数,且=2.‎ ‎(1)求a2+b2的最小值;‎ ‎(2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值.‎ 解(1)∵a,b为正实数,且=2,∴=2≥2,即ab≥ (当且仅当a=b时等号成立).‎ ‎∵a2+b2≥2ab≥2×=1(当且仅当a=b时等号成立),‎ ‎∴a2+b2的最小值为1.‎ ‎(2)∵=2,∴a+b=2ab.∵(a-b)2≥4(ab)3,∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3,即(2ab)2-4ab≥4(ab)3,即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0.∵a,b为正实数,∴ab=1.‎ 5‎