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  • 2021-06-10 发布

人教A高中数学必修三算法的概念设计

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第一章 算法初步 本章教材分析 ‎ 算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面.学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思想,激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力,增强进行实践的能力等,都有很大的帮助.‎ ‎ 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手,通过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情.‎ ‎ 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点.‎ ‎ 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从而提高自己数学能力.因此应从三个方面把握本章:‎ ‎(1)知识间的联系;‎ ‎(2)数学思想方法;‎ ‎(3)认知规律.‎ ‎ 本章教学时间约需12课时,具体分配如下(仅供参考):‎ ‎1.1.1‎‎ 算法的概念 约1课时 ‎1.1.2‎‎ 程序框图与算法的基本逻辑结构 约4课时 ‎1.2.1‎‎ 输入语句、输出语句和赋值语句 约1课时 ‎1.2.2‎‎ 条件语句 约1课时 ‎1.2.3‎‎ 循环语句 约1课时 ‎1.3算法案例 约3课时 本章复习 约1课时 ‎1.1 算法与程序框图 ‎1.1.1‎‎ 算法的概念 整体设计 教学分析 ‎ 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:“在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念,教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中,应从学生非常熟悉的例子引出算法,再通过例题加以巩固.‎ 三维目标 ‎1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点.‎ ‎2.通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路.‎ ‎3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣.‎ 重点难点 教学重点:算法的含义及应用.‎ 教学难点:写出解决一类问题的算法.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 ‎ 思路1(情境导入)‎ ‎ 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤,解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法.‎ ‎ 思路2(情境导入)‎ ‎ 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步?‎ 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上.‎ 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念.‎ ‎ 思路3(直接导入)‎ ‎ 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成为人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎(1)解二元一次方程组有几种方法?‎ ‎(2)结合教材实例总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤.‎ ‎(3)结合教材实例总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.‎ ‎(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤.‎ ‎(5)根据上述实例谈谈你对算法的理解.‎ ‎(6)请同学们总结算法的特征.‎ ‎(7)请思考我们学习算法的意义.‎ 讨论结果:‎ ‎(1)代入消元法和加减消元法.‎ ‎(2)回顾二元一次方程组 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤:‎ 第一步,①+②×2,得5x=1.③‎ 第二步,解③,得x=.‎ 第三步,②-①×2,得5y=3.④‎ 第四步,解④,得y=.‎ 第五步,得到方程组的解为 ‎(3)用代入消元法解二元一次方程组 我们可以归纳出以下步骤:‎ 第一步,由①得x=2y-1.③‎ 第二步,把③代入②,得2(2y-1)+y=1.④‎ 第三步,解④得y=.⑤‎ 第四步,把⑤代入③,得x=2×-1=.‎ 第五步,得到方程组的解为 ‎(4)对于一般的二元一次方程组 ‎ 其中a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤:‎ ‎ 第一步,①×b2-②×b1,得 ‎ (a1b2-a2b1)x=b‎2c1-b‎1c2.③‎ ‎ 第二步,解③,得x=.‎ ‎ 第三步,②×a1-①×a2,得(a1b2-a2b1)y=a‎1c2-a‎2c1.④‎ ‎ 第四步,解④,得y=.‎ ‎ 第五步,得到方程组的解为 ‎(5)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等.‎ ‎ 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.‎ ‎ 现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.‎ ‎(6)算法的特征:①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的,甚至无用的步骤,“不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性:‎ 算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性:算法要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也就是说必须在有限步内完成任务,不能无限制地持续进行.‎ ‎(7)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问题的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,有时需进行大量重复的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础.‎ 应用示例 思路1‎ 例1 (1)设计一个算法,判断7是否为质数.‎ ‎(2)设计一个算法,判断35是否为质数.‎ 算法分析:(1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用2—6除7,如果它们中有一个能整除7,则7不是质数,否则7是质数.‎ 算法如下:(1)第一步,用2除7,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除7.‎ 第二步,用3除7,得到余数1.因为余数不为0,所以3不能整除7.‎ 第三步,用4除7,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除7.‎ 第四步,用5除7,得到余数2.因为余数不为0,所以5不能整除7.‎ 第五步,用6除7,得到余数1.因为余数不为0,所以6不能整除7.因此,7是质数.‎ ‎(2)类似地,可写出“判断35是否为质数”的算法:第一步,用2除35,得到余数1.因为余数不为0,所以2不能整除35.‎ 第二步,用3除35,得到余数2.因为余数不为0,所以3不能整除35.‎ 第三步,用4除35,得到余数3.因为余数不为0,所以4不能整除35.‎ 第四步,用5除35,得到余数0.因为余数为0,所以5能整除35.因此,35不是质数.‎ 点评:上述算法有很大的局限性,用上述算法判断35是否为质数还可以,如果判断1997是否为质数就麻烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤.‎ 变式训练 ‎ 请写出判断n(n>2)是否为质数的算法.‎ 分析:对于任意的整数n(n>2),若用i表示2—(n-1)中的任意整数,则“判断n是否为质数”的算法包含下面的重复操作:用i除n,得到余数r.判断余数r是否为0,若是,则不是质数;否则,将i的值增加1,再执行同样的操作.‎ ‎ 这个操作一直要进行到i的值等于(n-1)为止.‎ ‎ 算法如下:第一步,给定大于2的整数n.‎ ‎ 第二步,令i=2.‎ ‎ 第三步,用i除n,得到余数r.‎ ‎ 第四步,判断“r=‎0”‎是否成立.若是,则n不是质数,结束算法;否则,将i的值增加1,仍用i表示.‎ ‎ 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则n是质数,结束算法;否则,返回第三步.‎ 例2 写出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.‎ 分析:令f(x)=x2-2,则方程x2-2=0 (x>0)的解就是函数f(x)的零点.‎ ‎ “二分法”的基本思想是:把函数f(x)的零点所在的区间[a,b](满足f(a)·f(b)<0)“一分为二”,得到[a,m]和[m,b].根据“f(a)·f(m)<‎‎0”‎ 是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b],仍记为[a,b].对所得的区间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解.‎ 解:第一步,令f(x)=x2-2,给定精确度d.‎ 第二步,确定区间[a,b],满足f(a)·f(b)<0.‎ 第三步,取区间中点m=.‎ 第四步,若f(a)·f(m)<0,则含零点的区间为[a,m];否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].‎ 第五步,判断[a,b]的长度是否小于d或f(m)是否等于0.若是,则m是方程的近似解;否则,返回第三步.‎ 当d=0.005时,按照以上算法,可以得到下表.‎ a b ‎|a-b|‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎0.5‎ ‎1.25‎ ‎1.5‎ ‎0.25‎ ‎1.375‎ ‎1.5‎ ‎0.125‎ ‎1.375‎ ‎1.437 5‎ ‎0.062 5‎ ‎1.406 25‎ ‎1.437 5‎ ‎0.031 25‎ ‎1.406 25‎ ‎1.421 875‎ ‎0.015 625‎ ‎1.414 062 5‎ ‎1.421 875‎ ‎0.007 812 5‎ ‎1.414 062 5‎ ‎1.417 968 75‎ ‎0.003 906 25‎ ‎ 于是,开区间(1.414 062 5,1.417 968 75)中的实数都是当精确度为0.005时的原方程的近似解.实际上,上述步骤也是求的近似值的一个算法.‎ 点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出结果,通常把算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成,实际上处理任何问题都需要算法.如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续……‎ 思路2‎ 例1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法.‎ 分析:任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量要小于羚羊的数量,故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的羚羊数量占到优势.‎ 解:具体算法如下:‎ 算法步骤:‎ 第一步:人带两只狼过河,并自己返回.‎ 第二步:人带一只狼过河,自己返回.‎ 第三步:人带两只羚羊过河,并带两只狼返回.‎ 第四步:人带一只羊过河,自己返回.‎ 第五步:人带两只狼过河.‎ 点评:‎ 算法是解决某一类问题的精确描述,有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们在写算法时应精练、简练、清晰地表达,要善于分析任何可能出现的情况,体现思维的严密性和完整性.本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现实生活中,很多较复杂的情境经常遇到这样的问题,设计算法的时候,如果能够合适地利用某些步骤的重复,不但可以使得问题变得简单,而且可以提高工作效率.‎ 例2 喝一杯茶需要这样几个步骤:洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶.问:如何安排这几个步骤?并给出两种算法,再加以比较.‎ 分析:本例主要为加深对算法概念的理解,可结合生活常识对问题进行分析,然后解决问题.‎ 解:算法一:‎ 第一步,洗刷水壶.‎ 第二步,烧水.‎ 第三步,洗刷茶具.‎ 第四步,沏茶.‎ 算法二:‎ 第一步,洗刷水壶.‎ 第二步,烧水,烧水的过程当中洗刷茶具.‎ 第三步,沏茶.‎ 点评:解决一个问题可有多个算法,可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.上面的两种算法都符合题意,但是算法二运用了统筹方法的原理,因此这个算法要比算法一更科学.‎ 例3 写出通过尺轨作图确定线段AB一个5等分点的算法.‎ 分析:我们借助于平行线定理,把位置的比例关系变成已知的比例关系,只要按照规则一步一步去做就能完成任务.‎ 解:算法分析:‎ 第一步,从已知线段的左端点A出发,任意作一条与AB不平行的射线AP.‎ 第二步,在射线上任取一个不同于端点A的点C,得到线段AC.‎ 第三步,在射线上沿AC的方向截取线段CE=AC.‎ 第四步,在射线上沿AC的方向截取线段EF=AC.‎ 第五步,在射线上沿AC的方向截取线段FG=AC.‎ 第六步,在射线上沿AC的方向截取线段GD=AC,那么线段AD=‎5AC.‎ 第七步,连结DB.‎ 第八步,过C作BD的平行线,交线段AB于M,这样点M就是线段AB的一个5等分点.‎ 点评:用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力,并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法,可谓一举多得,应多加训练.‎ 知能训练 ‎ 设计算法判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实数根.‎ 解:算法步骤如下: ‎ 第一步,输入一元二次方程的系数:a,b,c.‎ 第二步,计算Δ=b2-‎4ac的值.‎ 第三步,判断Δ≥0是否成立.若Δ≥0成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”,结束算法.‎ 点评:用算法解决问题的特点是:具有很好的程序性,是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让我们结合例题仔细体会算法的特点.‎ 拓展提升 ‎ 中国网通规定:拨打市内电话时,‎ 如果不超过3分钟,则收取话费0.22元;如果通话时间超过3分钟,则超出部分按每分钟0.1元收取通话费,不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为t(分钟),通话费用y(元),如何设计一个程序,计算通话的费用.‎ 解:算法分析:‎ 数学模型实际上为:y关于t的分段函数.‎ 关系式如下:‎ y=‎ 其中[t-3]表示取不大于t-3的整数部分.‎ 算法步骤如下:‎ 第一步,输入通话时间t.‎ 第二步,如果t≤3,那么y=0.22;否则判断t∈Z 是否成立,若成立执行 y=0.2+0.1×(t-3);否则执行y=0.2+0.1×([t-3]+1).‎ 第三步,输出通话费用c.‎ 课堂小结 ‎(1)正确理解算法这一概念.‎ ‎(2)结合例题掌握算法的特点,能够写出常见问题的算法.‎ 作业 ‎ 课本本节练习1、2.‎ 设计感想 ‎ 本节的引入精彩独特,让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础,是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念,本节设置了大量学生熟悉的事例,让学生仔细体会反复训练.本节的事例有古老的经典算法,有几何算法等,因此这是一节很好的课例.‎