2020高中数学 课时分层作业9 椭圆的标准方程及性质的应用 新人教A版选修2-1 7页

课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)‎ A. B.∪ C． D. B　[由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]‎ ‎2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) ‎ ‎【导学号：46342083】‎ A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　 B．(1,3)∪(3，＋∞)‎ C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)‎ B　[由 消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.‎ 若直线与椭圆有两个公共点，‎ 则 解得 由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.‎ 综上可知，m>1且m≠3，故选B.]‎ ‎3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是(　　)‎ A．± B．± C．± D．± A　[设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F‎1F2的中点，从而OM綊PF2，则 7‎ PF2⊥F‎1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]‎ ‎4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是(　　)‎ A. B. C． D. A　[联立方程组可得 得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，‎ 则x0＝＝，‎ y0＝1－x0＝1－＝.‎ ‎∴kOP＝＝＝.故选A.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝(　　)‎ A. B．2‎ C． D．3‎ A　[设点A(2，n)，B(x0，y0)．‎ 由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，‎ ‎∴c2＝1，即c＝1，‎ ‎∴右焦点F(1,0)．‎ 由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．‎ ‎∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.‎ ‎∴x0＝，y0＝n.‎ 将x0，y0代入＋y2＝1，得 ×＋＝1.‎ 解得n2＝1，‎ 7‎ ‎∴|A|＝＝＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________. ‎ ‎【导学号：46342084】‎ 　[结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解．‎ 如图所示，由题意得 A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．‎ 由PF⊥x轴得P.‎ 设E(0，m)，‎ 又PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝. ①‎ 又由OE∥MF，得＝，‎ 则|MF|＝. ②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝‎3c，∴e＝＝.]‎ ‎7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．‎ 　[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组 解得A(0，－2)，B，‎ ‎∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]‎ 7‎ ‎8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．‎ ‎6　[由＋＝1可得F(－1,0)．‎ 设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，‎ 当且仅当x＝－2时，·取得最大值6.]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.‎ ‎(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. ‎ ‎【导学号：46342085】‎ ‎[解]　(1)联立方程组消去y，整理得：‎ ‎5x2＋2mx＋m2－1＝0.‎ ‎∵直线与椭圆有公共点，‎ ‎∴Δ＝‎4m2‎－20(m2－1)＝20－‎16m2‎≥0，‎ ‎∴－≤m≤.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则由(1)得 ‎∴|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝· ‎＝· ‎＝.‎ ‎∵－≤m≤，‎ ‎∴0≤m2≤，‎ ‎∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.‎ ‎10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.‎ 7‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)当△AMN的面积为时，求k的值．‎ ‎[解]　(1)由题意得 解得c＝，b＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝ ‎＝ ‎＝，‎ 又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离 d＝，‎ 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，‎ 由＝，‎ 化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．－2‎ D　[由题意得c＝＝，‎ 又S＝2S＝2××|F‎1F2|·h(h为F‎1F2边上的高)，‎ 所以当h＝b＝1时，S取最大值，‎ 此时∠F1PF2＝120°.‎ 7‎ 所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.‎ 故选D.]‎ ‎2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) ‎ ‎【导学号：46342086】‎ A．＋＝1　　　 B．＋＝1‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ D　[因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D.]‎ ‎3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F‎1A|＋|F1B|的值为________．‎ 　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，‎ 由消去y，得3x2－4x＝0.‎ ‎∴A(0，－1)，B.‎ ‎∴|AB|＝，‎ ‎∴|F‎1A|＋|F1B|＝‎4a－|AB|‎ ‎＝4－＝.]‎ ‎4．已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)‎ ‎①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x.‎ ‎①③④　[椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故应填①③④.]‎ 7‎ ‎5．如图228，已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.‎ 图228‎ ‎(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；‎ ‎(2)若椭圆的焦距为2，且|AF2|＝2|F2B|，求椭圆的方程. ‎ ‎【导学号：46342087】‎ ‎[解]　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c，‎ 所以a＝c，e＝＝.‎ ‎(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，‎ 由|AF2|＝2|F2B|，得＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，‎ 解得x＝，y＝－，‎ 代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，‎ 解得a2＝3，所以b2＝2，‎ 故椭圆的方程为＋＝1.‎ 7‎