高中数学必修1教案：第一章(第11课时)一元二次不等式（二） 8页

课 题：1.5一元二次不等式（二）――‎ 高次不等式、分式不等式解法 教学目的：‎ ‎1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法；‎ ‎2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；‎ ‎3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想 教学重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法 教学难点：正确串根（根轴法的使用）‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：‎ ‎1．本小节首先对照学生已经了解的一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此引出简单的分式不等式的解法     2．本节课学习简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清简单的分式不等式和特殊的高次不等式解法的根轴法的使用 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 ‎2．一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式的解集：‎ 设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：(课本第19页)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数 ‎（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ‎ 无实根 ‎ ‎ ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法 ‎   二、讲解新课：‎ ‎⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式.‎ 分析一：利用前节的方法求解；‎ 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：与的解集的并集，即{x|}∪}=φ∪{x|-40；‎ 解：①检查各因式中x的符号均正；‎ ‎②求得相应方程的根为：-2，1，3；‎ ‎③列表如下：‎ ‎-2 1 3‎ x+2‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ x-1‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎+‎ x-3‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎+‎ 各因式积 ‎-‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-23}.‎ 小结：此法叫列表法，解题步骤是：‎ ‎①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……；‎ ‎②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；‎ ‎③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；‎ ‎④看下面积的符号写出不等式的解集.‎ 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)‎ ‎②求根，并在数轴上表示出来；‎ ‎③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；‎ ‎④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.‎ 注意：奇过偶不过 例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0.‎ 解：①检查各因式中x的符号均正；‎ ‎②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；‎ ‎③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始奇过偶不过），如下图：‎ ‎④∴原不等式的解集为：{x|-1-1/2}；2.{x|-130(或<0)的形式，转化为：，即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式 .‎ 也可以直接用根轴法（零点分段法）求解 ‎3．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式.‎ ‎4．注意必要的讨论.‎ ‎5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴.‎ 四、、布置作业 五、思考题：‎ ‎1． 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.‎ 解：①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)>0，‎ ‎②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？‎ ‎③讨论：‎ ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：‎ ‎∴原不等式的解集为{x| -3-a}.‎ ⅱ当-3<-a<4，即-44}.‎ ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：‎ ‎∴原不等式的解集为{x| -a4}.‎ ⅳ当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下：‎ ‎∴原不等式的解集为{x| x>-3}.‎ ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下：‎ ‎∴原不等式的解集为{x| x>4}.‎ ‎2．若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围.(提示：4x2+6x+3恒正)（答：1