高考数学专题复习教案： 点、直线与圆的位置关系备考策略 3页

点、直线与圆的位置关系备考策略 主标题：点、直线与圆的位置关系备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：点、直线与圆的位置关系，知识总结备考策略 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容一、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 ‎1．若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎2．若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎3．若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ 二、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ‎1．几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：‎ d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．‎ 2． 代数法： 3． 有关弦长问题的两种方法 ‎(1)几何法：直线被圆截得的半弦长，弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2；‎ ‎(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝ |y1－y2|＝ .‎ ‎4．过一点求圆的切线的方法 ‎(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0.‎ ‎(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ‎5.当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证．‎ 思维规律解题：考点一：点与圆位置关系 例1.(2013·陕西高考)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)‎ A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案　B 解析　由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆相交．‎ 考点二：直线与圆的位置关系 ‎ 例2.（15年广东理科）平行于直线且与圆相切的直线的方程是 ‎ A．或 B. 或 ‎ ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】．‎ 考点三：直线与圆的位置关系的应用 例3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．‎ 解答　(1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，‎ 即r＝＝2.‎ 所以圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.‎ 则圆心O到直线MN的距离d＝.‎ 由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.‎ 所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.‎ 例4．(2014·重庆高考)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．‎ 答案：0或6‎ 解答：圆C：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆心为 C(－1,2)，半径为3.因为AC⊥BC，所以圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为，即＝，所以a＝0或6.‎ 备考策略：1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解.‎ ‎2.利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系.‎