高考数学专题复习教案： 直线、平面垂直的判定与性质备考策略 6页

直线、平面垂直的判定与性质备考策略 主标题：平面垂直的判定与性质备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：线线垂直，线面垂直，面面垂直，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容 考点一　直线与平面垂直的判定和性质 ‎【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 证明：(1)CD⊥AE；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.‎ ‎∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.‎ 由(1)，知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ ‎∴AE⊥平面PCD.‎ 而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，‎ ‎∴PD⊥平面ABE.‎ ‎【备考策略】证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．‎ 考点二　平面与平面垂直的判定与性质 ‎【例2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝BC，点D是AB的中点．‎ 证明：平面ABC1⊥平面B1CD.‎ ‎ ‎ 证明　∵ABC－A1B1C1是棱柱，且AB＝BC＝AA1＝BB1，‎ ‎∴四边形BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1.‎ 由AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，得BB1⊥平面ABC.‎ ‎∵AB⊂平面ABC，∴BB1⊥AB，‎ 又∵AB＝BC，且AC＝BC，∴AB⊥BC，‎ 而BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AB⊥平面BCC1B1，而B1C⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AB⊥B1C，‎ 而AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1.‎ ‎∴B1C⊥平面ABC1，而B1C⊂平面B1CD，‎ ‎∴平面ABC1⊥平面B1CD.‎ ‎【备考策略】 证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”‎ ‎，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．‎ 考点三　平行、垂直关系的综合问题 ‎【例3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．‎ ‎(1)求证：CE∥平面PAD；‎ ‎(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎ ‎ 思路　(1)取PA的中点H⇒证明四边形DCEH是平行四边形⇒CE∥DH⇒根据线面平行的判定定理可证．‎ ‎(2)证明AB⊥EF⇒证明AB⊥FG⇒证明AB⊥平面EFG⇒证明MN⊥平面EFG⇒得到结论．‎ ‎ ‎ 证明　(1)如图，取PA的中点H，连接EH，DH.‎ 因为E为PB的中点，‎ 所以EH∥AB，且EH＝AB.‎ 又AB∥CD，且CD＝AB，‎ 所以EH綉CD.‎ 所以四边形DCEH是平行四边形．‎ 所以CE∥DH.‎ 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，‎ 所以CE∥平面PAD.‎ ‎(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，‎ 所以EF∥PA.‎ 又AB⊥PA，且EF，PA共面，‎ 所以AB⊥EF.‎ 同理可证AB⊥FG.‎ 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，‎ 因此AB⊥平面EFG.‎ 又M，N分别为PD，PC的中点，‎ 所以MN∥DC.‎ 又AB∥DC，所以MN∥AB，‎ 因此MN⊥平面EFG.‎ 又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.‎ ‎【备考策略】 线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．‎ 考点四　线面角、二面角的求法 ‎【例4】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ ‎(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；‎ ‎(2)证明AE⊥平面PCD；‎ ‎(3)求二面角A－PD－C的正弦值．‎ 思路　(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用；(2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角．‎ ‎(1)解　在四棱锥P－ABCD中，‎ 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ 故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩CD＝A，‎ 从而AB⊥平面PAD，‎ 故PB在平面PAD内的射影为PA，‎ 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．‎ 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.‎ 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.‎ ‎(2)证明　在四棱锥P－ABCD中，‎ 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAC.‎ 又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD.‎ 由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ ‎∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.‎ 又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD.‎ ‎(3)解　过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．‎ 由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，‎ 则AM⊥PD.‎ 因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角．‎ 由已知，可得∠CAD＝30°.‎ 设AC＝a，可得 PA＝a，AD＝a，PD＝a，AE＝a.‎ 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，‎ 则AM＝＝＝a.‎ 在Rt△AEM中，sin∠AME＝＝.‎ 所以二面角A－PD－C的正弦值为.‎ ‎【备考策略】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：‎ ‎①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；‎ ‎②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．‎ ‎(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．‎