2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5 35页

5.7 　三角函数的应用 必备知识 · 自主学习 导思 1. 函数 y=Asin(ωx+ φ )(A>0 ， ω>0) 中， A 、 ω 、 φ 分别有什么物理意义？ 2. 在三角函数应用题中，怎样建立数学模型解题？ 1. 函数 y=Asin(ωx+ φ )(A>0 ， ω>0) 中， A 、 ω 、 φ 的物理意义 (1)A 、 ω 、 φ 的物理意义： ①简谐运动的振幅就是 __ ； ②简谐运动的周期 T=___ ； ③简谐运动的频率 f= ； ④ _______ 称为相位； ⑤ x=0 时的相位 ___ 称为初相 . (2) 本质： A 、 ω 、 φ 有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分 . (3) 应用：根据 A 、 ω 、 φ 的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式 . ωx+ φ φ A 　 【 思考 】 在函数 y=Asin(ωx+ φ )+b(A>0 ， ω>0) 中， A ， b 与函数的最值有何关系？ 提示： A ， b 与函数的最大值 y max ，最小值 y min 关系如下： (1)y max =A+b ， y min =-A+b ； 2. 解三角函数应用题的基本步骤 (1) 审清题意； (2) 搜集整理数据，建立数学模型； (3) 讨论变量关系，求解数学模型； (4) 检验，作出结论 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 函数 y=Asin(ωx+ φ ) 的初相为 φ . ( 　　 ) (2)“ 五点法”作函数 y=2sin 在一个周期上的简图时，第一个点为 . ( 　　 ) 提示： (1) × . 当 A>0 ， ω >0 时， y=Asin( ω x+ φ ) 的初相才是 φ . (2) × .“ 五点法”作 y=2sin 在一个周期上的简图时，令 x+ =0 ，所以第 一个点为 . 2. 函数 y= 的周期、振幅、初相分别是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3π ， B.6π ， C.3π ， 3 ， - D.6π ， 3 ， 【 解析 】 选 B.y= 的周期 T= =6 π ，振幅为 ，初相为 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要 _______s 往返一次 .  【 解析 】 观察图象可知此简谐运动的周期 T=0.8 ，所以这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次 . 答案： 0.8 关键能力 · 合作学习 类型一　简谐运动中常见物理量的运算 ( 数学建模、数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 函数 y=Asin(ωx+ φ )+k 的图象如图，则它的振幅 A 与最小正周期 T 分别是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.A=3 ， T= B.A=3 ， T= C.A= ， T= D.A= ， T= 2. 已知某人的血压满足函数解析式 f(t)=24sin(160πt)+115. 其中 f(t) 为血压 ( 单位： mmHg) ， t 为时间 ( 单位： min) ，则此人每分钟心跳的次数 ( 即频率 ) 为 ( 　　 ) A.60 B.70 C.80 D.90 3. 如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置 O 的距离 s ( 单位： cm) 和时间 t( 单位： s) 的函数解析式为 s=5sin ，则单摆摆动时，从最 右边到最左边的时间为 ( 　　 ) A.2s B.1s C. 【 解析 】 1. 选 D. 因为 A= ，所以 T= . 2. 选 C. 因为 T= ，所以 f= =80. 3. 选 C. 由题意，知周期 T= =1(s). 单摆从最右边到最左边的时间是半个周期， 为 s. 【 解题策略 】 简谐运动中常见物理量的确定方法 　 (1)A 表示简谐运动离开平衡位置的最大距离，也可以用最大值减最小值除 以 2 得到； (2) 周期 T= 表示简谐运动往返运动一次所需要的时间；频率 f= 表示 运动物体在单位时间内往返运动的次数； (3) 初相 φ 是相位 ωx+ φ (ω>0) 在 x=0 时的值 . 【 补偿训练 】 1. 函数 y=3sin 的频率为 _______ ，相位为 _______ ，初相为 _______.  2. 某地一天内的温度变化曲线满足 y=3sin(0.2x+25)+15 ，则在一天内，该地的最大温差是 ___.  【 解析 】 1. 频率为 相位为 ，初相为 - . 答案： 　 2. 因为函数 y=3sin(0.2x+25)+15 的振幅为 A=3 ，可以判断该地的最大温差是 2A=6. 答案： 6 类型二　三角函数图象类问题 ( 直观想象、数学抽象 ) 【 典例 】 1. 函数 y=x+sin|x| ， x∈ 的大致图象是 ( 　　 ) 2.(2020· 新乡高一检测 ) 如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初 始位置为 P 0 ( ， - ) ，角速度为 1 rad/s ，那么点 P 到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 ( 　　 ) 【 思路导引 】 1. 根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断 . 2. 根据题意，选择几个特殊的点马上就能找到答案 . 【 解析 】 1. 选 C.y=x+sin |x| 是非奇非偶函数，图象既不关于 y 轴对称，也不关 于原点对称，故选 C. 2. 选 C. 通过分析可知当 t=0 时，点 P 到 x 轴的距离 d 为 ，于是可以排除选项 A ， D ，再根据当 t= 时，可知点 P 在 x 轴上，此时点 P 到 x 轴的距离 d 为 0 ，排除选项 B. 　 【 解题策略 】 解决函数图象与解析式对应问题的策略 可以按照定义域、奇偶性、单调性、特殊值的顺序进行判断，即先由定义域确定图象的范围，由奇偶性确定图象的对称性，由单调性确定图象的变化趋势等判断；也可以用特殊点 ( 值 ) 判断 . 【 跟踪训练 】 　函数 f(x)=2sin x(x∈ ) 的图象大致为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A.f(- π )=2 sin(- π ) =2 0 =1 ， f =2 -1 =0.5 ， f(0)=2 sin 0 =2 0 =1 ， f =2 ， f( π )=2 sin π =2 0 =1. 由此知选项 A 符合要求 . 类型三　三角函数模型的应用 ( 数学建模 ) 　角度 1 　三角函数模型在物理中的应用  【 典例 】 已知电流 I( 单位： A) 与时间 t( 单位： s) 的关系为 I=A (1) 如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式； (2) 如果 t 在任意一段 s 的时间内，电流 I 都能取到最大值和最小值，那么 ω 的最小值是多少？ 【 思路导引 】 可先由图象确定电流 I 的解析式，再由函数的性质确定 ω 的最小值 . 【 解析 】 (1) 由题图知 A=300 ， 周期 T= ，所以 ω = =150 π . 又当 t= 时， I=0 ， 即 sin =0 ， 而 | φ |< ，所以 φ = . 故所求的解析式为 I=300sin (2) 依题意，周期 T≤ 所以 ω ≥300 π ，故 ω 的最小值为 300 π . 【 解题策略 】 利用三角函数处理物理学问题的策略 (1) 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题，解决这类问题必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示方法 . (2) 将图形语言转化成符号语言，根据图形信息利用待定系数法，求函数模型 y=Asin(ωx+ φ ) 中的未知参数后，再由解析式及性质解决具体问题 . 　 　 【 变式探究 】 典例中条件不变，最大电流值第一次出现与第二次出现的时间间隔为 _______ 秒 .  【 解析 】 由典例知电流的解析式为 I=300sin ，最大电流值第一次出现 与第二次出现的时间间隔为一个周期 T= ( 秒 ). 答案： 　角度 2 　三角函数模型在生活中的应用  【 典例 】 一个大风车的半径为 8 米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且 12 分钟旋转一周，它的最低点离地面 2 米，设风车开始旋转时其翼片的 一个端点 P 在风车的最低点，求： (1) 点 P 离地面距离 h( 米 ) 与时间 t( 分钟 ) 之间的函数解析式 . (2) 在第一圈的什么时间段点 P 离地面的高度超过 14 米？ 【 思路导引 】 (1) 根据题目给出的条件，选出适当的函数模型，设出函数解析式，根据半径、 旋转一周所用的时间、最低点距离地面的距离等条件，求出函数的解析式 . (2) 距离地面超过 14 米，即函数值 h(t)>14 ，代入计算即可 . 【 解析 】 (1) 设 h(t)=Asin( ω t+ φ )+b(A>0 ， ω >0 ， | φ |< π ) ， 由题意得： A=8 ， T=12 ， b=10 ， 则 ω = ，当 t=0 时， h=2 ，即 sin φ =-1 ， 因为 | φ |< π ，所以 φ =- ， 所以 h(t)=8sin +10 ， t≥0. (2) 由题意： h(t)>14 ，即 8sin +10>14 ， 则 cos ，又因为 0≤t≤12 ， 所以 4s 2 B.s 1