【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第2讲　两直线的位置关系作业 5页

第2讲　两直线的位置关系 ‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝(　　)‎ A．－3 B．－6 ‎ C．－ D． 解析：选B.由直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行知，－＝3，a＝－6.‎ ‎2．已知点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为(　　)‎ A．4 B．3 ‎ C．2 D．1‎ 解析：选D.由题意得∠B＝90°，‎ 即AB⊥BC，kAB·kBC＝－1，‎ 所以·＝－1.‎ 解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，故选D.‎ ‎3．(2020·安庆模拟)若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝(　　)‎ A．7 B. ‎ C．14 D．17‎ 解析：选B.直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.‎ ‎4．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－10，10] B．[－10，5]‎ C．[－5，5] D．[0，10]‎ 解析：选D.由题意得，点P到直线的距离为 ＝.‎ 又≤3，‎ 即|15－3a|≤15，‎ 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．‎ ‎5．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，‎ ‎－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为(　　)‎ A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0‎ C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0‎ 解析：选B.设A(x0，y0)，依题意可得解得即A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又＝，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.‎ ‎6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为 ．‎ 解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.‎ 答案：3x＋19y＝0‎ ‎7．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为 ．‎ 解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.‎ 答案：或－4‎ ‎8．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为 ．‎ 解析：作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．‎ 答案：(13，0)‎ ‎9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．‎ ‎(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；‎ ‎(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．‎ 解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.‎ 又因为直线l1过点(－3，－1)，‎ 所以－3a＋b＋4＝0.‎ 故a＝2，b＝2.‎ ‎(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，‎ 所以直线l1的斜率存在．所以＝1－a.①‎ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，‎ 所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②‎ 联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.‎ ‎10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．‎ 解：依题意知kAC＝－2，A(5，1)，‎ 所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，‎ 联立直线AC和直线CM的方程，得 所以C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，AB的中点M为，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①存在k，使得l2的倾斜角为90°‎ ‎②对任意的k，l1与l2都有公共点 ‎③对任意的k，l1与l2都不重合 ‎④对任意的k，l1与l2都不垂直 A．①②④ B．①③ ‎ C．①②③ D．②④‎ 解析：选A.对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故①正确；由方程组可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故②正确；因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故③错误；‎ 由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故④正确．‎ ‎2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ．‎ 解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．‎ 所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．‎ 所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.‎ 当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．‎ 答案：5‎ ‎3．已知直线l：x－y＋3＝0.‎ ‎(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；‎ ‎(2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程．‎ 解：(1)设点A′(x′，y′)，‎ 由题知解得 所以A′(－2，5)．‎ ‎(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′(－3，9)．设l1与l的交点为N，则由得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2的方程为 y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.‎ ‎4．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．‎ ‎(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；‎ ‎(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.‎ 解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．‎ 因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，‎ 所以解得 故直线经过的定点为M(2，－2)．‎ ‎(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，　‎ 此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.‎ 但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，‎ 所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，‎ 所以|PQ|<4，故所证成立．‎