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- 2021-06-10 发布
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两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
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一、选择题
1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=( )
A.1 B.
C. D.-
B [sin 45°cos 15°+cos 225°sin 165°=sin 45°·cos 15°+(-cos 45°)sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°=.]
2.若2sin x+cos=1,则cos 2x=( )
A.- B.-
C. D.-
C [因为2sin x+cos=1,所以3sin x=1,所以sin x=,所以cos 2x=1-2sin2x=.]
3.(2019·太原模拟)若cos=-,则cos+cos α=( )
A.- B.±
C.-1 D.±1
C [cos+cos α=cos α+sin α+cos α
=cos α+sin α=cos=-1.]
4.tan 18°+tan 12°+tan 18°tan 12°=( )
A. B.
C. D.
D [∵tan 30°=tan(18°+12°)==,
∴tan 18°+tan 12°=(1-tan 18°tan 12°),∴原式=.]
5.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( )
A.- B.
C.- D.
C [由3cos 2α=sin,可得3(cos2α-sin2α)=(cos α-sin α),又由α∈,可知cos α-sin α≠0,于是3(cos α+sin α)=,所以1+2sin αcos α=,故sin 2α=-.]
二、填空题
6.已知sin=,α∈,则cos的值为________.
- [由已知得cos α=,sin α=-,
所以cos=cos α+sin α=-.]
7.(2019·湘东五校联考)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则=________.
5 [因为sin(α+β)=,sin(α-β)=,所以sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β
-cos αsin β=,所以sin αcos β=,cos αsin β=,所以==5.]
8.化简:=________.
-1 [===-1.]
三、解答题
9.已知tan α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
[解] (1)tan===-3.
(2)
=
=
===1.
10.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cos β的值.
[解] (1)∵α,β∈,∴-<α-β<.
又∵tan(α-β)=-<0,
∴-<α-β<0.
∴sin(α-β)=-.
(2)由(1)可得,cos(α-β)=.
∵α为锐角,且sin α=,∴cos α=.
∴cos β=cos[α-(α-β)]
=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
=×+×=.
1.若sin=,A∈,则sin A的值为( )
A. B.
C.或 D.
B [∵A∈,∴A+∈,
∴cos=-=-,
∴sin A=sin
=sincos -cossin =.]
2.已知sin α=-,α∈,若=2,则tan(α+β)=( )
A. B.
C.- D.-
A [∵sin α=-,α∈,
∴cos α=.
又∵=2,
∴sin(α+β)=2cos[(α+β)-α].
展开并整理,得cos(α+β)=sin(α+β),
∴tan(α+β)=.]
3.已知coscos=,则cos 2θ=________,sin4θ+cos4θ=________.
[因为coscos
=
==cos 2θ=.
所以cos 2θ=.
故sin4θ+cos4θ=2+2
=+=.]
4.(2019·石家庄质检)已知函数f(x)=sin,x∈R.
(1)求f的值;
(2)若cos θ=,θ∈,求f的值.
[解] (1)f=sin=sin
=-.
(2)f=sin=sin
=.
因为cos θ=,θ∈,所以sin θ=,
所以sin 2θ=2sin θcos θ=,cos 2θ=cos2θ-sin2θ=,
所以f=(sin 2θ-cos 2θ)=×=.
1.(2019·江苏高考改编)已知=-,则tan α=________,sin=________.
-或2 [∵=-,
∴tan α=-tan=-·,
整理得3tan2α-5tan α-2=0,
∴tan α=-或tan α=2.
sin=(sin 2α+cos 2α)
=·=·.
当tan α=-时,sin=;
当tan α=2时,sin=.
所以答案为.]
2.已知函数f(x)=(2cos2x-1)·sin 2x+cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若α∈(0,π),且f=,求tan的值.
[解] (1)f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x
=cos 2xsin 2x+cos 4x
=(sin 4x+cos 4x)=sin,
∴f(x)的最小正周期T=.
令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z.
∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)∵f=,∴sin=1.
∵α∈(0,π),-<α-<,
∴α-=,
故α=.
因此tan===2-.
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