上海市奉贤区2020届高三二模考试数学试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 上海市奉贤区2020届高三二模数学试卷 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1.球的表面积为，则球的体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎2.已知圆的参数方程为，则此圆的半径是________‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化为直角坐标方程可得其圆心和半径 ‎【详解】解：由得，，‎ 所以此圆的圆心为，半径为 故答案为：2‎ ‎【点睛】此题考查的是参数方程的有关知识，属于基础题 ‎3.设（为虚数单位），若，则实数________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入化简求解 ‎【详解】解：由和得 ‎，‎ 所以，‎ - 23 -‎ ‎，解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的是复数的运算，属于基础题 ‎4.已知为曲线上位于第一象限内的点，、分别为的两焦点，若是直角，则点坐标为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若设，，结合椭圆的定义和直角三角形可得，，从而可求出，然后将的值代入椭圆方程中可求出 ‎【详解】解：曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，则，得，设，，‎ 因为是直角，‎ 所以，‎ 解得，将代入椭圆方程中得，，‎ 解得（负根舍去）‎ 所以点的坐标为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的是椭圆的定义和性质，属于基础题 ‎5.已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域 - 23 -‎ 上的一个动点，则的最大值是_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，结合向量数量积坐标公式，将结论进行转化，利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 则x+y，‎ 设z＝﹣x+y，则y＝x+z，‎ 平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最大，此时z最大，‎ 由得，得A（0，2），‎ 此时z＝﹣0+2＝2，‎ 故的最大值是2，‎ 故答案是：2.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式组表示的平面区域，向量数量积坐标公式，线性目标函数的最值，在解题的过程中，注意观察目标函数的类型，属于简单题目.‎ ‎6.从4男2女六名志愿者中任选三名参加某次公益活动，则选出的三名志愿者中既有男志愿者又有女志愿者的概率是________（结果用数值表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 从4男2女六名志愿者中任选三名，其中既有男志愿者又有女志愿者，所以分两种情况：（1）1男2女；（2）2男1女求解 ‎【详解】解：从4男2女六名志愿者中任选三名共有种方法，‎ 而所选的3名中既有男志愿者又有女志愿者，分两种情况：第一种1男2女，有种；‎ 第二种2男1女，有种，‎ 所以所求的概率为 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的是古典概率的求法，属于基础题 ‎7.中，，则A的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理将sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C 变为，然后用余弦定理推论可求，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A的取值范围．‎ ‎【详解】因为sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，所以，即 ．‎ 所以 ，‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论，将角化为边．‎ - 23 -‎ ‎8.已知等差数列的各项不为零，且、、成等比数列，则公比是________‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由、、成等比数列，列方程找出，从而可求出公比 ‎【详解】解：设等差数列的公差为，‎ 因为、、成等比数列，‎ 所以，即，‎ 化简得， ‎ 或 当时，等差数列的每一项都相等，所以、、成等比数列时的公比为1‎ 当时，，所以，‎ 所以等比数列的公比为1或5‎ 故答案为：1或 ‎【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量的运算，属于基础题 ‎9.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，则，‎ - 23 -‎ ‎，即异面直线A1M与DN所成角的大小是 考点：异面直线所成的角 ‎10.集合，，若，则实数的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出集合，再由列不等式可求出的取值范围 ‎【详解】解：由得，且，‎ 解得，所以集合，‎ 由得，，所以集合，‎ 因为，‎ 所以或，‎ 解得或 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的是解分式不等式，解绝对值不等式，集合的交集运算，属于中档题 ‎11.三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：‎ 甲：，可用基本不等式求解；‎ 乙：，可用二次函数配方法求解；‎ 丙：，可用基本不等式求解；‎ - 23 -‎ 参考上述解题思路，可求得当________时，（，）有最小值 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，，然后利用丙的思路求解即可 ‎【详解】解：因为，，‎ 所以 所以 当且仅当时，取等号 即当时，有最小值 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题 ‎12.在平面直角坐标系内有两点，，，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则________‎ - 23 -‎ ‎【答案】，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点在抛物线上，所以将点坐标代入抛物线方程中，可得到与的关系，由可得点的坐标为，准线方程为，所以，‎ 而，由列方程可求出的值 ‎【详解】解：因为点在抛物线上，‎ 所以，得，‎ 因为抛物线的焦点为，准线为 所以，‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以或 化简得或，‎ 解得或或，‎ 因为，‎ 所以，，，‎ - 23 -‎ 故答案为：，，‎ ‎【点睛】此题考查抛物线的性质，属于中档题 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ）‎ A. 1.5小时 B. 1.0小时 C. 0.9小时 D. 0.6小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用加权平均数公式求解 ‎【详解】解：由题意得，50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 故选：C ‎【点睛】此题考查的是利用条形图中的数据求平均数，属于基础题 ‎14.如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的函数，则在上的图象大致为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 计算函数的表达式，对比图像得到答案.‎ - 23 -‎ ‎【详解】根据题意知：‎ 到直线的距离为： ‎ 对应图像为B 故答案选B ‎【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.‎ ‎15.设函数，其中，且，若，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，得，所以，从而可求出的值 ‎【详解】解：因为，‎ 所以，‎ 因，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎16.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱，过点作 - 23 -‎ 的垂线交侧棱于点，交于点.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求与平面所成的线面角.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，可得∽，从而得，再将已知的数据代入可得的长；‎ ‎（2）如图建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，然后利用向量的夹角公式求出与平面所成的线面角 ‎【详解】解：因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，‎ 所以∽，所以 又因为，所以 解得 ‎（2）如图，以为坐标原点，分别以射线为轴，轴，‎ - 23 -‎ 轴，建立空间直角坐标系，则 所以，‎ 设平面的法向量为，则 所以，令，则 所以，‎ 设与平面所成的角为，则 所以 所以与平面所成的线面角为 - 23 -‎ ‎【点睛】此题考查的是几何图形中的计算，利用空间向量求线面角，属于中档题 ‎17.已知向量，（，），令（）.‎ ‎（1）化简，并求当时方程的解集；‎ ‎（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.‎ ‎【答案】（1），或，；‎ ‎（2）时，，时，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接将向量，代入中化简，可求出的解析式，再解方程即可；‎ ‎（2）由化简变形可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）因，，‎ 所以 ‎，‎ 当时，，‎ 由得，‎ - 23 -‎ 解得或，‎ 所以方程的解集为或 ‎（2）当时，，‎ 化简得， ‎ 解得，‎ 所以当时，，当时，‎ ‎【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中档题.‎ ‎18.甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，比例系数为（），固定部分为1000元.‎ ‎（1）把全程运输成本（元）表示为速度（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ ‎【答案】（1），；‎ ‎（2）当时，，时，时最小.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)全程运输成本有两部分组成,将其分别表示出来依题意建立起全程运输成本 (元)表示为速度 (千米/时)的倍数,由题设条件速度不得超过70千米/时,故定义域为;‎ ‎(2)由(1)知,全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立,故求最值的方法不确定，对速度的范围进行分类讨论 ‎【详解】解：（1）由题意得，全程运输成本 ‎，‎ - 23 -‎ ‎（2）因为 所以 当且仅当时取等号，即 ‎① 当时，即时 时，最小 ‎② 当时，即时，在上单调递减 则时，最小 ‎【点睛】此题考查建立函数关系、不等式的性质、最大值、最小值等知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决问题的能力，属于中档题 ‎19.直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；‎ ‎（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由于点在直线上，所以设点的坐标为 - 23 -‎ ‎，然后由到点的距离是它到点的距离的3倍列方程求出，从而可得点的坐标；‎ ‎（2）由可知，由此可，再将点坐标代入双曲线方程中，解方程组可得；‎ ‎（3）由可知线段的中垂线过点，再利用两直线斜率的关系可得结果.‎ ‎【详解】解：（1）因为点在直线上，所以设点的坐标为，‎ 因为到点的距离是它到点的距离的3倍，‎ 所以 所以，‎ 化简得，‎ 解得 所以 所以点的坐为；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以点的坐标为，即 因为点在双曲线上，所以，‎ 由，得，‎ 所以双曲线方程为 ‎（3）因为点关于直线的对称点为，‎ 所以点的坐标为，‎ 设直线为为，，‎ - 23 -‎ 由得，，‎ 因为直线与双曲线交于不同的两点，‎ 所以，‎ 化简得，‎ 由根与系数的关系得，‎ 所以，所以线段的中点为，‎ 因为，‎ 所以，化简得，‎ 所以，得，‎ 解得或，‎ 又因为，所以解得的取值范围为 ‎【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 ‎20.两个数列、，当和同时在时取得相同的最大值，我们称与具有性质，其中.‎ ‎（1）设的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；同样地，的二项展开式中的系数为（），，记，，，依次下去，，组成的数列是；判别与是否具有性质，请说明理由；‎ ‎（2）数列的前项和是，数列的前项和是，若与具有性质，，则这样的数列一共有多少个？请说明理由；‎ - 23 -‎ ‎（3）两个有限项数列与满足，，且，是否存在实数，使得与具有性质，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）不具有；见解析（2）102；见解析（3）见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）展开式中系数最大项为，然后再判断展开式中的系数是否是最大值，即可得结果；‎ ‎（2）令，则，结合，求得，求得的最大值，由与具有性质，可得时，，由，结合求得的范围，再由是等差数列，可得，然后联立，解出数列的个数；‎ ‎（3）由进行迭代，可得，因为与具有性质，‎ 所以，从而可 ‎【详解】解：（1）展开式的通项为，则数列的通项为 故数列中的最大值为 展开式的通项为，‎ 而当时，得，‎ 所以与不具有性质 ‎（2）令，则，‎ - 23 -‎ 由，即，‎ 解得，‎ 因为，‎ 所以当时，,‎ 因为 与具有性质，‎ 所以时，，‎ 因，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，‎ 由，解得共有102个数列；‎ ‎（3）因为，‎ 当，时，‎ 所以 当时，符合上式 所以，‎ 因为与是有限项数列，所以一定存在最大项，‎ 设，因为与具有性质，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 显然成立，‎ 假设，则显然，矛盾 同理，也矛盾，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎ - 23 -‎