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- 2021-06-10 发布
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数 学
E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
5．B6，E1[2014·山东卷] 已知实数x，y满足axy3
B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
D.>
5．A [解析] 因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以x3>y3恒成立．故选A.
5．E1[2014·四川卷] 若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
5．B [解析] 因为c＜d＜0，所以＜＜0，即－＞－＞0，与a＞b＞0对应相乘得，－＞－＞0，
所以<，故选B.
E2 绝对值不等式的解法
9．E2、E8[2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
9．D [解析] 当a≥2时，
f(x)＝
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.
当a<2时，f(x)
由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.
10．E2[2014·辽宁卷] 已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式
f(x－1)≤的解集为( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
10．A [解析] 由题可知，当x∈时，函数f(x)单调递减，由cos πx≤，得≤x≤；当x∈时，函数f(x)单调递增，由2x－1≤，得0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C. D．2
10．B [解析] 画出关于x，y的不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
显然当目标函数z＝ax＋by过点A(2，1)时，目标函数z＝ax＋by取得最小值，即2＝2a＋b，所以2－2a＝b，所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋20.构造函数m(a)＝5a2－8a＋20(01，故选C.
2．E5[2014·天津卷] 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．B [解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示．
联立解得可得点A (1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值z＝1×1＋2×1＝3.
12．E5[2014·浙江卷] 若实数x，y满足则x＋y
的取值范围是________．
12．[1，3] [解析] 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.令z＝x＋y，则y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z经过A点时，z取最小值1；经过B点时，z取最大值3.故x＋y的取值范围是[1，3]．
E6 基本不等式
9．B7、E6[2014·重庆卷] 若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
9．D [解析] 由log4(3a＋4b)＝log2，得3a＋4b＝ab，则＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2 ＝7＋4 ，当且仅当＝，即a＝4＋2 ，b＝2 ＋3时等号成立，故其最小值是7＋4 .
16．E6[2014·湖北卷] 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
16．(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知，l>0，v>0，所以当l＝6.05时，
F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．
(2)当l＝5时，
F＝＝≤2000，
当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
14．C8、E6[2014·江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．
14. [解析] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c.故
cos C＝＝＝＝－≥－＝，
当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．
16．E6[2014·辽宁卷] 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
16．－1 [解析] 因为4a2－2ab＋b2－c＝0，所以(2a＋b)2－c＝6ab＝3×2ab≤3×，所以(2a＋b)2≤4c，当且仅当b＝2a，c＝4a2时，|2a＋b|取得最大值．故＋＋＝＋＝－1，其最小值为－1.
21．H5，H8，E6[2014·山东卷] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程．
(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
(i)设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；
(ii)求△OMN面积的最大值．
21．解：(1)由题意知，＝，可得a2＝4b2.
椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.
将y＝x代入可得x＝±.
因此×＝，即a＝2，所以b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)(i)设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．
因为直线AB的斜率kAB＝，且AB⊥AD，
所以直线AD的斜率k＝－.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，
由题意知k≠0，m≠0.
由消去y，得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.
由题意知x1≠－x2，
所以k1＝＝－＝.
所以直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)．
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)．
可得k2＝－.
所以k1＝－k2，即λ＝－.
因此，存在常数λ＝－使得结论成立．
(ii)直线BD的方程y＋y1＝(x＋x1)，
令x＝0，得y＝－y1，即N.
由(i)知M(3x1，0)，
所以△OMN的面积S＝×3|x1|×|y1|＝
|x1||y1|.
因为|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，
此时S取得最大值，
所以△OMN面积的最大值为.
E7 不等式的证明方法
20．A1、D3、E7[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an＜bn，则s＜t.
20．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an0)，则 t>1，所以 m≤－＝
－对任意 t>1成立．
因为t－1＋＋ 1≥2 ＋1＝3, 所以 －≥－，
当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．
因此实数 m 的取值范围是.
(3)令函数 g(x)＝ex＋－ a(－x3＋3x)，则g′ (x) ＝ex－＋3a(x2－1)．
当 x≥1时，ex－>0，x2－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e－1－2a.
由于存在x0∈[1，＋∞)，使ex0＋e－x0－a(－x＋ 3x0 )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，
故 e＋e－1－2a<0, 即 a>.
令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.
当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；
当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．
所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．
注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故ea－1>ae－1.
综上所述，当a∈时，ea－1ae－1.
12．E8、B12[2014·辽宁卷] 当x∈[－2，1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
12．C [解析] 当－2≤x<0时，不等式可转化为a≤，令f(x)＝(－2≤x<0)，则
f′(x)＝＝，故函数f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤fmin(x)＝f(－1)＝＝－2.
当x＝0时，不等式恒成立．
当00，f(x)在(e，＋∞)上单调递增．
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)，
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
①当m >时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0a>0，<1恒成立，
等价于f(b)－b0)，
∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立，
∴m≥，
∴m的取值范围是.
E9 单元综合
6．[2014·成都七中模拟] 若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
6．D [解析] 因为2＝≤，所以a2＋b2≥8，所以≤.
8．[2014·郑州联考] 已知a，b，c∈R，给出下列命题：
①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ab≠0，则＋≥2；
③若a＞|b|，则a2＞b2.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
8．C [解析] 当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故①为假命题；当a与b异号时，<0，<0，故②为假命题；因为a>|b|≥0，所以a2>b2，故③为真命题．
6．[2014·济南期末] 若变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．A [解析] 依题意画出可行域如图所示，由图可知，z＝x－3y在点(1，－1)处取得最大值4.
8．[2014·长沙一中月考] 在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是( )
A．(3，4)
B．(－2，－1)∪(3，4)
C．(3，4]
D．[－2，－1)∪(3，4]
8．D [解析] 由题意得，原不等式为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，解得10，b>0，所以＋＝＋(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当a＝，b＝时，取等号．
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