人教新课标A版高考数学黄金题系列第07题分段函数文 28页

第 7 题 分段函数 I．题源探究·黄金母题 【例 1】已知函数       4 , 0 , 4 , 0 x x x f x x x x      ，求  1f ，  3f  ，  1f a  的值． 【解析】       4 , 0 , 4 , 0 x x x f x x x x       ，    1 1 1 4 5f     ， ( 3) 3 ( 3 4) 21f        ，   ( 1)( 5), 1,1 ( 1)( 3), 1. a a af a a a a           精彩解读 【试题来源】人教版 A 版必修一第 45 页 B 组第 4 题 【母题评析】本题以分段函数为载体，考 查函数的求值问题．本类考查方式是近几 年高考试题常常采用的命题形式，达到既 考查运算能力与及分类讨论思想的应用 的目的． 【思路方法】考察自变量的值与分段函数 每一段函数的定义域关系，正确选用解析 式．如果自变量以参数形式出现，注意考 虑分类讨论思想的应用． II．考场精彩·真题回放 【例 2】【2017 江苏 14】设 ( )f x 是定义在 R 且周期为 1 的函 数 ， 在 区 间 [0,1) 上 ， 2, ,( ) , , x x Df x x x D     其 中 集 合 1, *nD x x nn      N ，则方程 ( ) lg 0f x x  的解的个数是 ▲ ． 【答案】8 【解析】解法一：由于      0 ,1 , lg 0 ,1 ,f x x   则需考 虑1 10x  的情况，在此范围内， x Q 时，设 *, , , 2qx p q pp   N ，且 ,p q 互质．若 lg x Q ，则 由 lg (0,1)x ，可设 *lg , , , 2nx m n mm   N ，且 ,m n 互质．因此10 n m q p  ，则10 ( )n mq p  ，此时左边为整数， 右边非整数，矛盾，因此 lg x Q ．因此 lg x 不可能与每个 【命题意图】本类题考查分段函数的求值 【考试方向】这类试题在考查题型上，通 常基本以选择题或填空题的形式出现，难 度中等，往往与分段函数的求值、分段函 数的性质、分段函数图象及应用、分段函 数与其它知识（不等式、方程、程序框图 等）知识的交汇或综合． 【难点中心】分段函数也是函数，因此主 要也是要关心它的图象与性质，以及图象 与性质的应用．其难点主要体现在：（1） 函数的求值问题必须考虑自变量的所属 范围，无法判断时须利用分类讨论思想解 决；（2）分段函数的图象画法，因为它的 每一段多数由基本初等函数构成，处理分 界点的图象是一个难点，当函数是非基本 函数图象时，常常要联系其它知识来作 周期内 x D 对应的部分相等， 只需考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，画出函数图 象，图中交点除 1, 0 外其它交点横坐标均为无理数，属于每 个周期 x D 的部分，且 1x  处   1 1lg 1ln10 ln10x x     ，则在 1x  附近仅有一个交点， 一次方程解的个数为 8． 解法二： D 是有理数集，∴自变量 x D ，所对应的函数值都 为有理数，且 x D 在函数 y x 上对应的空心点函数值也为有 理数，令 lgy x 等于这些函数值与空心点函数值所求得 x 在 区 间  0 ,1 内 皆 为 无 理 数 ， 故 lgy x 不 能 与 函 数 上 1 2 3, , ,2 3 4x  所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案 为 8 个． 【例 3】【2017 天津文 8】已知函数 2 , 1, ( ) 2 , 1. x x f x x xx       设 a  R ，若关于 x 的不等式   2 xf x a  在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是 （ ） A． 2 , 2 B． 2 3 , 2   C． 2 , 2 3   D． 2 3 , 2 3   【答案】A． 【解析】 试 题 分 析 ： 首 先 画 出 函 数  f x 的 图 象 ， 当 0a  时 ， （如利用导数）；（3）求解分段函数的性 质中的参数问题，常常要用到数形结合 法、分裂参数法、构造法等数学方法来解 决．   2 xg x a  的零点是 2 0x a   ，零点左边直线的斜率 1 12    ，不会和函数  f x 有交点，满足不等式恒成立，零 点右边   2 xg x a  ，函数的斜率 1 2k  ，根据图象分析，当 0x  时， 2a  ，即 0 2a  成立，同理，若 0a  ，函数   2 xg x a  的 零 点 是 2 0x a   ， 零 点 右 边    2 xg x a f x   恒成立，零点左边   2 xg x a   ，根 据图象分析当 0x  时， 2 , 2a a     ，即 2 0a   ， 当 0a  时，    f x g x 恒成立，所以 2 2a   ，故选 A． III．理论基础·解题原理 考点一 分段函数的概念 （1）定义：在函数的定义域内，对于自变量 x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫 分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数 x ，此函数实质上也是分段函数． （2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象 （1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基 本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成 的． （2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基 本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质 1．分段函数的单调性： 判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断 函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数 在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同， 则直接可分开说明单调性． 2．分段函数的奇偶性： 判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通 过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行： ①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数 x ，判断 ( )f x 与 ( )f x 的关系． IV．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函 数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系． 【技能方法】 已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围 的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若 能利用数形结合可加快求解的速度． 【易错指导】 （1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解； （2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在 0x  有定义时，忽视对 (0)f 的验证； （3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左 右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨； （4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误； V．举一反三·触类旁通 考向 1 求解分段函数的函数值 【例 1】【2018 江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数   1 2 2 , 0,{ 1 log , 0, x xf x x x     则   3f f  （ ） A． 4 3 B． 2 3 C． 4 3  D． 3 【答案】A 【例 2】【2017 高考山东卷文数】设     ,0 1{ 2 1 , 1 x xf x x x     ，若    1f a f a  ，则 1f a      A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入 求解；当给 出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但 要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 【例 3】【2018 河北邢台高一上学期第一次联考】设  =f x 2, 0, { 0, 0, 2, 0, x x x      =g x 1, ,{ 1, ,U x Q x C Q    则  πf g   的值为 ( ) A． 2 B． 0 C． 1 D． 2 【答案】D 【解析】因为 为无理数，所以  π 1g   ，又因为 1 0  ，所以    π 1 2f g f       ， 故选 D． 【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题．对于分段函数解析式 的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题 一定要层次清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出  πg 的值，进而得到  πf g   的值． 【例 4】【2018 山西 45 校第一次联考】函数  f x 的定义域为 R ，且对任意 x R ，都有    2f x f x  ， 若在区间 1,1 上   2, 1 0, ( ={ 2 ,0 1,x ax x f x a x e x       ） 则    2017 2018f f  （ ） A．0 B．1 C．2 D．2018 【答案】C 【解析】由    2f x f x  知，  f x 是周期为 2 的函数，故    1 1f f  ，代入解析式，得  2 2a a e    ， 解 得 2a  ， 从 而     2 2 , 1 0 , 2 2 , 0 1x x x f x x e x         ， 故        2017 2018 1 0 2f f f f    ．故选 C． 【跟踪练习】 1．【2018 名校大联考第二次联考】设函数     3 , 1,{ log 2 4 , 1, x a a xf x x x    且  1 6f  ，则  2f （ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【 解 析 】 函 数     3 , 1,{ log 2 4 , 1, x a a xf x x x    所 以  1 3 6f a  ， 解 得 2a  ． 所 以    2 22 log 2 2 4 log 8 3f      ．故选 C． 2．设函数   3 1, 1 , 2 , 1x x x f x x     则满足     2 f af f a  的 a 取值范围是（ ） （A） 2 ,13      （B） 0,1 （C） 2 ,3    （D） 1, 【答案】C 3．【2018 安徽滁州 9 月联合质量检测】设  f x 是定义域为 R ，最小正周期为 3 的函数，且在区间  ,2  上的表达式为       0 2{ 0 sinx xf x cosx x        ，则 308 601 3 6f f             （ ） A． 3 B． 3 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】 308 601 2 7 2 7cos 13 6 3 6 3 6f f f f sin                                          ． 故选 D． 考向 2 求分段函数的最值（或值域） 【例 5】【2018 湖南永州一模】定义  max , ,a b c 为 , ,a b c 中的最大值，设  max 2 ,2 3,6xM x x   ， 则 M 的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【例 6】【2017 江苏南京模拟】设常数 1k  ，函数     21 ,0 1{ 1 , 1 x x xy f x kf x kx x         ，则  f x 在区间  0,2 上的取值范围为__________． 【答案】 2 ,1k 【 解 析 】 当 0 1x  时 ， 令 cos , 0, 2x        ， 则 ,4 4 4              ，    21 sin cos 2sin 1,14f x x x               ；当 1x  且 0 2x  时，则 0 1 1x   ， 令 1 cos , 0, 2x         ， 则 1 cos , 0, 2x         ， ,4 4 4              ， 函 数      2sin 2 ,04f x kh x k k k         所 以 当  0,2x 时 ，  f x 的 取 值 范 围 是      2 ,0 1,1 2 ,1k k     ，应填答案  2 ,1k ． 点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数     21 ,0 1{ 1 , 1 x x xx kf x kx x        ，则  f x 在区间  0,2 上的值域．求解时充分运用分类整合思想，对定义域  0,2x 分 0 1x  和1 2x  两种情形进 行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了 1k  这一题设条件，从而使得问题获解． 【例 7】【2017 湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数 f(x)＝x|x2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0， am2]，则实数 a 的取值范围是_____． 【答案】a≥1 函数 f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am2]，分为以下情况考虑： ①当 04； ②当 2≤m≤4 时，函数的值域为[0，16]，有 am2＝16，所以 a＝ 2 16 m ，因为 2≤m≤4，所以 1≤a≤4； ③当 m>4 时，函数的值域为[0，m(m2－12)]，有 m(m2－12)＝am2，所以 a＝m－ 12 m ，因为 m>4，所以 a>1． 综上所述，实数 a 的取值范围是 a≥1． 【跟踪练习】 1．已知函数 2 2 3, 1( ) lg( 1), 1 x xf x x x x         ，则 ( ( 3))f f   ， ( )f x 的最小值是___________． 【答案】 0 ， 3-22 【解析】 0)1())3((  fff ；当 1x 时， 322)( xf ，当且仅当 2x 时，等号成立，当 1x 时， 0)( xf ，当且仅当 0x 时，等号成立，故 )(xf 最小值为 322  ． 【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段 上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其 分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注． 2．【2015 高考福建理 14】若函数   6, 2, 3 log , 2,a x xf x x x       （ 0a  且 1a  ）的值域是 4, ， 则实数 a 的取值范围是___________．] 【答案】 (1,2] 【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并 集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运 用． 考向 3 分段函数的奇偶性 【例 8】【2016 届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数 sin( ), 0,( ) cos( ), 0 x a xf x x b x      是偶函数， 则下列结论可能成立的是（ ） A． ,4 4a b    B． 2 ,3 6a b   C． ,3 6a b   D． 5 2,6 3a b   【答案】C 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式．若 0x  ，则 0x  ，因为 sin( ) sin cos cos sinx a x a x a   ， cos( ) cos cos sin sinx b x b x b    ，且 ( )f x 为偶函数，所以 由题意知 sin cos cos sinx a x a ＝ cos cos sin sinx b x b 恒成立，所以必有 sin cos cos sin a b a b    ，观察各选 项知，只有 C 适合，故选 C． 【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对 称、确定 ( )f x 与 ( )f x 的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用 ( ) ( )f x f x  或 ( ) ( )f x f x   建立方程来解决． 【跟踪练习】 设奇函数 cos 3sin 0( ) cos sin 0 a x x c xf x x b x c x         ，则 a c 的值为___________． 【答案】0 【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性．因为 ( )f x 为奇函数，所以 (0) 0f  ，即 cos0 3sin 0a c  ＝ cos0 sin 0b c  ，所以 2 1a c  ；由 ( ) ( ) 02 2f f    ，得 3 0c b c     ，所以 3b   ； 由 ( ) ( ) 0f f    ，得 1 0a c c     ，所以 1a   ，所以 1c  ，所以 0a c  ． 【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数 ( )f x 在 0x  时有定义，则必有 (0) 0f  ，但如果在 0x  时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解． 考向 4 分段函数的单调性 【例 9】【2018 安徽滁州 9 月联合质量检测】若函数    22f x x x a x a    |在区间 3,0 上不是单 调函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A．   3,0 0,9  B．   9,0 0,3  C． 9,3 D． 3,9 【答案】B 点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参 数范围即可． 【例 10】【2017 北京朝阳区二模】设函数 则 ___；若 在其定义域内为单调递 增函数，则实数 的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】 ，由于 在其定义域内为单调递增函数，所以 ．填 (1)．2 (2)． ． 【例 11】【2017 山东济宁 3 月模拟】若函数    1 2 , 2,{ log , 2a a x a xf x x x     在 R 上单调递减，则实数 a 的 取值范围是__________． 【答案】 2 ,12      【解析】由题意得，因为函数    1 2 , 2,{ log , 2a a x a xf x x x     在 R 上单调递减，则 1 0 0 1{ 0 1a a a       且   2log 2 1 2 2 2a a a a      ，综合可得实数 a 的取值范围是 2 ,12      ． 【跟踪练习】 1．【2017 浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数 2 1( 2)( ) 1( 2) ax x xf x ax x        是 R 上的单调递减函 数，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1 04 a   B． 1 4a   C． 11 4a    D． 1a   【答案】D 【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是 2 1 4 2 1a a    ， 将分段函数在 R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在 分段的转折点处，函数的图象不上升． 2．【2018 江苏南京上学期期初学情调研】已知函数   22 , 0{ ,3 1 3, 0 x xf x x x      若存在唯一的整数 x， 使得   0f x a x   成立，则实数 a 的取值范围为______． 【答案】[0，2]∪[3，8] 【解析】     0 f x a f x a x x    表示  y f x 上的点   ,x f x 与 0,a 在线的斜率，做出  y f x 的 图象，由图可知，  0,2a 时，有一个点整数点   1, 1f 满足   00 f x a x   ，符合题意，  2,3a 时， 有两个整数点      1, 1 , 1, 1f f  满足   00 f x a x   ，不合题意，  3,8a 时，只有一个点   1, 1f  满足   00 f x a x   符合题意，当 8a  时，至少存在两点      1, 1 , 2, 2f f    满足   00 f x a x   不合题意，故答案为   0,2 3,8 点睛： 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其 中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性； 从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 考向 5 分段函数的对称性 【例 12】【2018 齐鲁名校教科研协作体第一次调研】已知   2 , 0{ 2 , 0 lnx xf x x x x     ，若  =f x a 有 4 个 根 1 2 3 4, , ,x x x x ，则 1 2 3 4x x x x   的取值范围是________________． 【答案】 10, 2e e      【跟踪练习】 若函数 , 0( ) ln , 0 ax a xf x x x x     的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1(0, )e B． 1(0, ) (1, )ee  C． (1, ) D． (0,1) (1, ) 【答案】D 【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将 y 轴一侧的函数图象作关于 原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关 系可建立关于参数的不等式求解． 考向 6 分段函数的图象交点 【 例 13 】【 2016 届 西 安 中 学 高 三 第 四 次 仿 真 理 】 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ( )f x 满 足 ：（ 1 ） ( ) (2 ) 0f x f x   ，（2） (2 ) ( )f x f x   ；（3）在[ 1,1] 上表达式为 21 , [ 1,0] ( ) cos( ), (0,1]2 x x f x x x       ， 则函数 ( )f x 与函数 2 , 0( ) 1 , 0 x xg x x x      的图象在区间[ 3,3] 上的交点个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】本题考查函数的对称性、周期性、函数图象的交点．由 ( ) (2 ) 0f x f x   ，知函数 ( )f x 的图 象关于点 (1,0) 对称．由 ( 2) ( )f x f x   ，知函数 ( )f x 的图象关于直线 1x   对称，由此作出函数 ( )f x 的图象，同时在同一坐标系中作出函数 ( )y g x 的图象，如图所示，由图可知两个函数在区间[ 3,3] 上的交点个数为 6，故选 B． 【知识拓展】若函数 ( )f x 满足 (2 ) ( ) 2f a x f x b   或 ( ) ( ) 2f a x f a x b    ，则函数 ( )f x 的图象 关于点 ( , )a b 对称；若函数 ( )f x 满足 (2 ) ( )f a x f x  或 ( ) ( )f a x f a x   ，则函数 ( )f x 的图象关 于直线 x a 对称． 【跟踪练习】 【2018 海南八校联考】设函数   3 22 3 1, 0{ 2 1, 0x x x xf x axe x      ，其中 0a  ． (1)若直线 y m 与函数  f x 的图象在 0,2 上只有一个交点，求 m 的取值范围； (2)若  f x a  对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1) 1 3m   或 2m   ；(2) ,2 ea e      ． (2)当 0x  时，    ' 2 1 xf x a x e  ， 0a  ，令  ' 0f x  得 1x   ； 令  ' 0f x  得 1 0x   ，  f x 递增；令  ' 0f x  得 1x   ，  f x 递减，∴  f x 在 1x   处 取得极小值，且极小值为   21 1af e     ，∵ 0a  ，∴ 2 1 0a e    ，∵当 2 1 2a e     即 0 2 ea  时 ，    min 1 2f x f   ， ∴ 2a   ， 即 2a  ， ∴ 无 解 ， 当 2 1 2a e     即 2 ea  时 ，    max 21 1af x f e      ，∴ 2 1aa e     ，即 2 ea e   ，又 2 2 e e e  ，∴ 2 ea e   ，综上， ,2 ea e      ． 点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨 论最值即可． 考向 7 分段函数的零点 【例 14】【2018 辽宁庄河高级中学、沈阳二十中第一次联考】函数       8 2 0 { 1 02 2 sin x x f x f x x         ，则函 数     4logh x f x x  的零点个数为（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】D 当 2 x   时， 0 2 2x     ，据此可得：   1 1 4sin2 2sin22 2 2 2f x f x x x                 ； 当 3 2x    时， 2 2x     ，据此可得：   1 1 2sin2 sin22 2 2 2f x f x x x                    ； 当 5 4x  时， 5 5sin 2 14 4f              ，而 4 4 5log log 4 14    ，则函数 4logy x 与函数  f x 在 区间 3, 2      上有 2 个交点，很明显，当 3 2x  时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察 可得：函数     4h x f x log x  的零点个数为 5 个． 点睛：函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必 须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不 同的值，就有几个不同的零点． 【例 15】【2018 吉林省百校联盟九月联考】已知函数   12 , 1,2{ 1 2 , 1,2 x x x x x f x x      函数    g x f x m  ， 则下列说法错误的是（ ） A．若 3 2m   ，则函数  g x 无零点 B．若 3 2m   ，则函数  g x 有零点 C．若 3 3 2 2m   ，则函数  g x 有一个零点 D．若 3 2m  ，则函数  g x 有两个零点 【答案】A 【解析】作出函数  f x 的图象如图所示： 观察可知：当 3 2m   时，函数  g x 有一个零点，故 A 错误．故选 A 【跟踪练习】 1 ．【 2018 广 东 珠 海 一 中 等 六 校 第 一 次 联 考 】 已 知 函 数    2 2 2 , 12{ log 1 , 1 x x f x x x      ， 则 函 数       32 2F x f f x f x   的零点个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个 t 对应几个 x． 2．【2017 天津二模】已知函数   2 1, 0,{ log , 0, x xf x x x    则函数    1y f f x  的所有零点构成的集合为 _________． 【答案】 1 13, , , 22 4      【 解 析 】 因 为 函 数   2 1, 0,{ log , 0, x xf x x x    所 以    1 0f f x   等 价 于     0{ 1 1 0 f x f x     或    2 0{ log 1 0 f x f x    ，求解可得     12 2f x f x  或 ，即 1 2{ 0 x x     或 2 0{ log 2 x x    或 11{ 2 0 x x    或 2 0 { 1log 2 x x   ，求解可得 1 13 24 2x x x x     或 或 或 ，故答案为 1 13, , , 22 4      ． 考向 8 分段函数与方程的关系 【例 16】【2018 甘肃兰州西北师范大学附属中学高三一调】若函数   3 , 0 { , 0 x x e x f x e xx     ，则方程    33 0f f x e  的根的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难 题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思 想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提 高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充 分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解． 【例 17】【2018 湖南永州一模】定义函数       ,{ , f x x ah x g x x a   ，  f x x ，   2 2 4g x x x   ， 若存在实数b 使得方程   0h x b  无实数根，则实数 a 的取值范围是__________． 【答案】   , 5 4,    【跟踪练习】 1．已知函数 |ln|)( xxf  ，      1,2|4| 10,0)( 2 xx xxg ，则方程 1|)()(|  xgxf 实根的个数为 ___________． 【答案】4 【解析】由题意将问题转化为求函数 ( )y f x 与 1 ( )y g x  交点个数以及函数 ( )y f x 与 1 ( )y g x   交 点个数之和，因为 2 2 1,0 1 1 ( ) 7 , 2 1,1 2 x y g x x x x x            ，所以函数 ( )y f x 与 1 ( )y g x  有两个交点，又 2 2 1,0 1 1 ( ) 5 , 2 3,1 2 x y g x x x x x              ，所以函数 ( )y f x 与 1 ( )y g x   有两个交点，因此共有 4 个交点． 【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数的零点，因此方程根的个数问题，可以考虑通过构造相 应的函数，将其转化为函数零点个数多少问题求解，也可以考虑直接通过分离，转化为函数的值域问题 求解． 2 ．【 2018 河 南 郑 州 模 拟 】 已 知 函 数   2 2 2 , 0{ 2 , 0 x x xf x x x x      ， 若 关 于 x 的 不 等 式    2 2 0f x af x b      恰有 1 个整数解，则实数 a 的取值范围是__________． 【答案】3 8a  【解析】画出  f x 的图象如图所示 考向 9 分段函数与不等式 【例 18】【2018 江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】设函数       1 2 2 1{ 1 log 1 x xf x x x     ，则满足   1f x  的 x 的解集是 ________． 【答案】 1, 【解析】由分段函数可知，若 1x  ，由   1f x  ，得 12 1x  ，即1 0, 1x x    ，此时 =1x ，若 1x  ， 由   2f x  ，得 21 log 2x  ，即 2log 1x   ，即 1 2x  ，此时 1x  ，综上， 1x  ，故答案为 1, ． 【例 19】【2018 河南林州第一中学 10 月调研】已知函数    1 , 0 { 1 1, 02 ln x x f x x x      ，若 m n ，且    f m f n ，则 n m 的取值范围是（ ） A． 3 2ln2,2 B． 3 2ln2,2 C． 1,2e  D． 1,2e  【答案】A 【例 20】【2018 河北武邑中学第二次调研】已知函数      3 1 , 0 { 1 , 0 ln x x f x x x      ，若  f x ax 恒成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A． 20, 3      B． 30, 4      C． 0,1 D． 30, 2      【答案】B 【解析】根据题意，画出函数 y=f(x)和 y=ax 的图象，如图所示； 当 a>0 时，直线 y=ax 与 y=(x−1)3+1(x ⩾ 0)相切，设切点为(m，am)，由 y=(x−1)3+1 的导数为 y′=3(x−1)2， 可得 a=3(m−1)2，am=(m−1)3+1，解方程可得 3 3,2 4m a  ．由图象可得 30 4a „ ；当 a=0 时，不等式 f(x) ⩾ ax=0 恒成立，当 a<0 时，在 x<0 时，不等式不成立．综上可得 a 的取值范围是 30, 4      ．故选 B． 点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、 全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 【例 21】【2018 江苏如皋高一上学期教学质量调研数学试题】已知函数   1 ,1 21{ 1 , 22 xxf x x x    ，则满 足   3f a  的实数 a 的取值范围是__________． 【答案】  41, 6,3       ； 【例 22】【2018 齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知定义在 R 上的函 数     2 , 0 { 1 , 0 x x x f x ln x x      ，若函数      1g x f x a x   恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 _________． 【答案】  1, 1 ,1e       ． 【解析】数形结合，由直线  1y a x  与曲线  y f x 的位置关系可得当   1, 1 ,1a e        时有 两个交点，即函数  y g x 恰有两个零点． 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的 单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根 到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路． 【跟踪练习】 1．【2018 江苏省扬州高一数学第二次学情测试】已知函数   2 6,{ 2 , x x tf x x x x t     ，若函数 f（x）的值 域为 R，则实数 t 的取值范围是 ______． 【答案】[-7，2] 2．【2018 江西南昌高三上学期摸底】已知函数   2 1 , 0,( )={ 3 , 0 ln x xf x x x x      ，若不等式   2 0f x mx   恒 成立，则实数 m 的取值范围为__________． 【答案】 3 2 2,0    【解析】不等式即：   2mx f x  恒成立，作出函数   2y f x  的图象，则正比例函数 y mx 恒 在函数   2y f x  的图象下方，考查函数： 2 3 2y x x ﹣ 经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率 为 3 2 2k    ，由此可得：实数 m 的取值范围为 3 2 2,0    ，故答案为 3 2 2,0    ． 考向 10 分段函数与程序框图 【例 23】【2018 湖南永州一模】执行如图所示的程序框图，输入的 值为 2，则输出的 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 点睛：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的 循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环 得到的 ， 的值，当 时不满足条件 ，退出循环，输出 的值即可． 【例 24】【2018 海南八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的 5x   ，则输出的 y  ( ) A．2 B．4 C．10 D．28 【答案】B 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括 顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环 规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 【跟踪练习】 执行下列程序框图．若输出 y 的值是 4，则输入的实数 x 的值为（ ） A．1 B．－2 C．1 或 2 D．1 或－2 【答案】D 【解析】本题考查程序框图、分段函数求值．此算法功能是 2 1 3 1 1 10 cos 10 x x y x x x x         ，当 1x  时，由 2 4x  解得 2x   ；当1 10x  时，由3 1 4x   解得 1x  ；当 10x  时，cos 4x  无解．综上所述 2x   或 1x  ，故选 D． 【点评】因为分段函数的自变量在不同的范围内时函数的关系式不同，所以分段函数的问题与算法有着 紧密联系，主要是可通过利用程序框图将函数解析式呈现出来，因此解答时根据程序框图确定分段函数 的解析式是解答此类试题的突破口与关键点． 考向 11 分段函数与实际应用 【例 25】【2018 绵阳一诊】某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过 10 立 方米的，按每立方米 3 元收费；用水超过 10 立方米的，超过的部分按每立方米 5 元收费．某职工某月缴 水费 55 元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【思路点拨】本题题设条件给出了分段函数的解析式，同时利用表格给出了相关的一些自变量与对应的 函数值，求解时必须要善于把表格中的数据与各段对应起来． 【例 26】【2018 辽宁鞍山一中一模】已知函数 f(x)=   2 1 , 1{ 4 3,( 1) x x x x x      ，若 f(f(m))≥0，则 m 的取值 范围是（ ） A．[-2，2] B．[-2，2]  [4，+∞) C．[-2，2+ 2 ] D．[-2，2+ 2 ]  [4，+∞) 【答案】D 【解析】设不等式的解集为 M，利用排除法：当 m=3 时，       23 3 4 3 3 0, 3 0 1f f f f        ， 即3 M ，选项 A，B 错误；当 m=4 时，       24 4 4 4 3 3, 4 3 0f f f f        ，即 4 M ， 选项 C 错误；故选 D． 点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自 变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 【例 27】【2017 福建漳州 5 月质量检测】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天 下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚 1．2 元， 如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚 0．5 元；如果当天未能按量完成任务，则按完成 的雕刻量领取当天工资． （Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量 n （单位：粒， n N ）的函数解析式  f n ； （Ⅱ）该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n （单位：粒），整理得下表： 雕刻量 n 210 230 250 270 300 频数 1 2 3 3 1 以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率． （ⅰ）求该雕刻师这 10 天的平均收入； （ⅱ）求该雕刻师当天的收入不低于 300 元的概率． 【答案】（1）    1.7 125, 250,{ 1.2 , 250 n nf n n Nn n    （2）（ⅰ）309．1 元；（2）0．7 试题解析：（I）依题意得：当 250n  时，    250 1.2 1.7 250 1.7 125f n n n       ， 当 250n  时，   1.2f n n ，所以    1.7 125, 250,{ 1.2 , 250 n nf n n Nn n    ． （II）（ⅰ）由（I）得    210 252, 230 276,f f       250 300, 270 334, 300 385,f f f   所以该雕刻师这 10 天的平均收入为 252 1 276 2 300 3 334 3 300 1 309.110           （元） （ⅱ）该雕刻师当天收入不低于 300 元的雕刻量有 250，270，和 300．概率分别是 0．3，0．3 和 0．1． 所以该雕刻师当天收入不低于 300 元的概率为 0.3 0.3 0.1 0.7   ． 【跟踪练习】 【2017 湖南株洲一模】某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为 50 元，当天以每个 100 元售出， 若当天白天售不出，则当晚以 30 元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完． （1）若蛋糕店每天做 20 个生日蛋糕，求当天的利润 y （单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量 n （单 位：个， *n N ）的函数关系； （2）蛋糕店记录了 100 天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表： （ⅰ）假设蛋糕店在这 100 天内每天制作 20 个生日蛋糕，求这 100 天的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若蛋糕店一天制作 20 个生日蛋糕，以 100 天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于 900 元的概率． 【答案】（1） 70 400, 20{ 1000, 20 n ny n    （ *n N ）；（2）（i）937 ；（ii） 0.7 ．