2020高中数学 第2章 推理与证明 第1节 合情推理与演绎推理学案 理 苏教版选修2-2 6页

第1节合情推理与演绎推理 一、学习目标：‎ ‎ 1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用；‎ ‎2. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；‎ ‎3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。‎ 二、重点、难点 重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。‎ 难点：发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。‎ 三、考点分析：‎ 推理是数学的基本思维过程，高中数学课程的重要目标就是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。由于解答高考试题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。在学习时，应注意理解常用的推理的方法，了解其含义，掌握其过程以解决具体问题。今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身就是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是很容易被解答与证明题接受的。‎ 一、知识导图 二、推理 ‎ 根据一个或几个事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫推理。‎ 从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），‎ 6‎ 叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论。‎ 三、合情推理：‎ 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。‎ 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：‎ ‎（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。‎ ‎（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。‎ 四、演绎推理：‎ 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。‎ 知识点一：合情推理用归纳推理发现规律 例1 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 思路分析：注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性（2）观察角的“共性”。‎ 解题过程：猜想：‎ 证明：左边＝‎ ‎＝＝右边。‎ 解题后反思：‎ ‎（1）先猜后证是一种常见题型；‎ ‎（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）。‎ 例2 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。‎ 6‎ 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。则＝_____；＝______。 ‎ 思路分析：找出的关系式。‎ 解题过程：，‎ 解题后反思：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据间的关系 知识点二：用类比推理猜想新的命题 例3 已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______。‎ 思路分析：从方法的类比入手。‎ 解题过程：原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，，即正四面体的内切球的半径是高的 解题后反思：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比；‎ ‎（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等。‎ 例4 在中，若，则，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想。‎ 思路分析：考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何类比到空间。‎ 解题过程：由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥中，三个侧面两两垂直，且与底面所成的角分别为，则 ‎ ”‎ 证明：设在平面的射影为，延长交于，记 由得，从而，又 ‎，，‎ ‎ 即。‎ 解题后反思：（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等。‎ 知识点三：利用“三段论”进行推理 6‎ 例5 某校对文明班的评选设计了五个方面的多元评价指标，并通过经验公式来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 。（填入中的某个字母）。‎ 思路分析：从分式的性质中寻找S值的变化规律 ‎ 解题过程：因都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，，所以c增大1个单位会使得S的值增加最多 解题后反思：此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到。‎ ‎（山东高考）设函数，观察：‎ ‎……‎ 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当且时，____________________。‎ 解题思路：解题关键是归纳出等式右边分式的分母，第n个等式右边分式分母中的常数为，分母中x的系数为。‎ 解答过程：通过，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得。‎ 解题后反思：归纳法是由特殊到一般，由局部到整体的一个方法，注意从特殊中找出一般规律。‎ 6‎ 在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由。‎ 解：如图（1）所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，‎ ‎∴＝＝＝。‎ 又BC2＝AB2＋AC2，‎ ‎∴＝＝＋。‎ 所以＝＋。‎ 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD。则＝＋＋。‎ 如图（2），连接BE交CD于F，连接AF。‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD。‎ 而AF⊂面ACD，‎ ‎∴AB⊥AF。‎ 在Rt△ABF中，‎ AE⊥BF，‎ ‎∴＝＋。‎ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，‎ ‎∴＝＋。‎ ‎∴＝＋＋，故猜想正确。‎ 解答推理问题时，先明确出是哪种推理形式，显然归纳、演绎等推理方式在以往的学习中已经接触过，类比推理相对而言比较陌生。所以学习类比推理时应抓住两点：一是找出合理的类比对象，二是找出类比对象，再进一步找出两类事物间的相似性或一致性。 ‎ 6‎ 一、预习新知 请同学们课下预习选修2－2第2章 第2节直接证明与间接证明 二、预习点拨 探究与反思：‎ 探究任务一：直接证明 ‎【反思】‎ ‎（1）什么是直接证明？‎ ‎（2）什么情况下我们用直接证明？‎ 探究任务二：间接证明 ‎ ‎【反思】‎ ‎（1）什么叫间接证明？‎ ‎（2）间接证明的一般方法是什么？‎ 6‎