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- 2021-06-10 发布
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书书书
数学!文史类"试题第!!!!! 页!共"页"
秘密" 启用前!考试时间"!"#$年#月$日#%&""!#'&""#
遂宁市高中!"#$级第一次诊断性考试数!学!文史类"
!考试时间"#!"分钟!试卷满分"#%"分#
注意事项"
#(答卷前$考生务必将自己的姓名%准考证号填写在答题卡上&
!(回答选择题时$选出每小题答案后$用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑&如
需改动$用橡皮擦干净后$再选涂其它答案标号&回答非选择题时$将答案写在答题卡上&
写在本试卷上无效&
)(考试结束后$将本试卷和答题卡一并交回&
一$选择题"本题共#!小题%每小题%分%共*"分&在每小题给出的四个选项中%只有一项是
符合题目要求的&
#!已知集合"+ ##,-.!#$# $! %$+ ##/!%#%# $! %则"&$+!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
0!!/!%!" 1!!"%!" 2!!/!%3& 4!!"%3&
!!复数%+)/35
)635!5为虚数单位"在复平面内对应的点所在象限为
0!第一象限 1!第二象限 2!第三象限 4!第四象限
)!已知!' "
!%! "" %758!+)
%%则758 "
36! "! +
0!/槡!
#" 1!/槡!
% 2!槡!
#" 4!槡' !
#"
3!函数&+#758# 部分图象大致为
!! 0(!!!! !!!1(!!!!!!!2(!!! !!!!4(
%!中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理%而且很早就尝试
对勾股定理进行证明!三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅'赵爽弦
图(%用形数结合的方法%给出了勾股定理的详细证明!在'赵爽弦图(
中%以弦为边长得到的正方形由3个全等的直角三角形再加上中间的
那个小正方形组成!如图%正方形"$'( 是某大厅按'赵爽弦图(设计铺设的地板砖%已知
3个直角三角形的两直角边分别为)+)"9:%*+3"9:!若某小物体落在这块地板砖上任
何位置的机会是均等的%则该小物体落在中间小正方形中的概率是
0!#
!% 1!#
#! 2!*
!% 4!!3
!%
*!下列函数中%在区间!"%6;"上为增函数的是
0!&+#
# 1!&+!/# 2!&+#69-7# 4!&+#)/)#
'!执行右图所示的程序框图%则输出的+的值为
0!'
1!<
2!$
4!#"
'% ">$ # #>% !
!#"分别建立恰当的函数模型%使它能比较近似地反映该商品日销售量& 与销售单价#
的关系1!#".进货浮动价5 与日销售量& 的关系5!&"*
/注-可选的函数模型有一次函数.二次函数.反比例函数.指数函数.对数函数.幂函数0
!!"运用!#"中的函数模型判断%该产品销售单价确定为多少元时%单件产品的利润最大1
/注-单件产品的利润+单件售价/!进货浮动价6进货固定价"0
!#!!本小题满分#!分"
已知函数1!#"+#!6)#6*,8#!)%*'%"%曲线&+1!#"在点!#%1!#""处的切线方程为
!#/&/!+"!
!#"求)%*的值
!!"求证-当4(!%#,#时%不等式4!=#/="(=)1!#"恒成立!
'二(选考题"共#"分&请考生在第!!$!)题中任选一题作答%如果多做%则按所做的第
一题记分&
!!!+选修3/3-坐标系与参数方程&!本小题满分#"分"
在直角坐标系#.& 中%曲线'# 的参数方程为#+!66%
&+)
)
*
+ 6
!6'%"!以坐标原点为极点%# 轴
正半轴为极轴建立极坐标系%曲线'! 的极坐标方程为#+!9-7$63758$!
!#"求'# 的普通方程%'! 的直角坐标方程*
!!"曲线'# 与'! 交于点7%8%求#78#的值!
!)!+选修3/%-不等式选讲&!本小题满分#"分"
已知函数1!#"+!###6##/!#!
!#"解不等式1!#"$3*
!!"设函数1!#"的最小值为4%若实数)%*满足)!6*!+4!%求3
)!6 #
*!6#最小值!
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数学!文史类"试题答案第!!!!! 页!共"页"
遂宁市高中!"#$级第一次诊断性考试
数学!文史类"参考答案
评分说明!
!"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制定相应的评分细则"
#"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果
后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分"
$"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数"
%"只给整数分"选择题和填空题不给中间分"
!!&!#!&!$!'!%!(!)!'!*!&!+!&!,!&!-!.!!/!.!!!!&!!#!.
!$!*!!!%!0#!!!)!!!*!!!*!!/##10 !
# "
!+!解$!!"当!2##"2/时##$2#$#0!*$#
则#$0!2#$#0#/$3!,!$"#"!
所以%$2#$0#$0!2%$0!,!$"#"! )分………………………………………………………
而当$2!时#%!20!%满足上式#所以%$2%$0!,! *分………………………………………
!#"由"2!)#当$2!时#%!2#!2!0!% +分…………………………………………………
当$"#时#%$2#$0#$0!2#!$0!0!*# ,分……………………………………………………
由数列&%$'的各项为正#则
!0!#/#
#!#/#
#!4#0!0!*#/
$
%
& #
由此可知!#!*
$!
所以!的取值范围为!!#!*& '$ ! !#分…………………………………………………………
!,!解$!!"由%567&2!#'0("567) 得%567&3(567)2#'567)#
根据正弦定理有789)567&3567)789&2#789*567)# #分……………………………………
所以789!)3&"2#789*567) 即789*2#789*567)#
因为789*'/#所以567)2!
##
所以)2!
$! *分…………………………………………………………………………………
数学!文史类"试题答案第#!!!! 页!共"页"
!#"因为#()&* 2!
#)+(&*2!
#('789)
由&*2*#)2!
$#所以$)+2槡$
%('
所以)+2槡$
!#('# ,分………………………………………………………………………………
由余弦定理得$*2(#3'#0#('567!
$ 2(# 3'# 0('"#('0('2('!当且仅当(2'时等号成
立"#
所以/)('*$*#
所以/))+* 槡$ $! !#分…………………………………………………………………………
!-!解$!!"由!%3(3/://,3/:/#+3/:/$)"4!/2!#
于是%3(2/:/$#%2%(#
解得%2/:/#%#(2/://*! %分……………………………………………………………………
!#"得分在)-/#!//*内有!//4/://*4!/2*人#其中女生#人#男生%人! )分……………
设其中女生为%!#%##男生为(!#(##($#(%#从中任取两人#所有的基本事件为!%!#%# "#
!%!#(!"#!%!#(#"#!%!#($"#!%!#(%"#!%##(!"#!%##(#"#!%##($"#!%##(%"#!(!#(#"#!(!#($"#
!(!#(%"#!(##($"#!(##(%"#!($#(%"共!)个#至少有!名女生的有!%!#%#"#!%!#(!"#!%!#(#"#
!%!#($"#!%!#(%"#!%##(!"#!%##(#"#!%##($"#!%##(%"共-个!
所以#抽取的两人中至少有一名女生的概率为-
!)#即为$
)! !#分………………………………
#/!解$!!"根据表中数据#销售单价每增加!百元#日销售量就减少!/件#所以销售单价和日销
售量为一次函数的关系#故设,!-"2.-3(#
由%.3(2!!/#
).3(2!//
$
%
& #
解得.20!/#
(2!)/
$
%
& !
即,!-"20!/-3!)/# %分…………………………………
又根据表中数据#日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数-/#考虑其为一个反比例函数
关系#设/!0"2"
0
#由题可得"2-/!
于是/!0"2-/
0 ! *分………………………………………………………………………………
!#"由!)/0!/-#/#
-#
$
%
& /
得/)-)!)!
设单件产品的利润为1 百元#
则12-0!/!0"3$"2-0 -/
,!-"0$2-0 -/
!)/0!/-0$2-0 -
!)0-0$# ,分………………
数学!文史类"试题答案第$!!!! 页!共"页"
因为/)-)!)#所以!)0-#/#
所以120 !)0-3 -
!)0! "- 3!##
又!)0-3 -
!)0-"# !!)0-"( -
!)0槡 -2*# !/分……………………………………………
当且仅当!)0-2 -
!)0-#即-2!#等号成立#
所以1;<=20*3!#2*!
故单件产品售价定为!#//元时#单件产品的利润最大#为*//元! !#分……………………
#!!解$!!"由,!-"2-#3%-3(>9- 得,2!-"2#-3%3(
- #
由于02,!-"在点!!#,!!""处的切线方程为#-000#2/#
所以,2!!"2##
,!!"2/
$
%
& #
即%3(3#2##
%3!2/
$
%
& #
解得%20!#(2!! %分……………………………………………………………………………
!#"由!!"#得,!-"2-#0-3>9-#
令3!-"2"!1-01"01(,!-"2"!1-01"01-#31-01>9-
则32!-"2"1-0#1-3101
-# *分………………………………………………………………
注意到3!!"2/#32!!"21!"0#""/#
令4!-"232!-"2"(1-0#1-3101
-#
则42!-"2"1-0#131
-###1-0#1#/# ,分……………………………………………………
所以4!-"在-+!!#3?"时单调递增#则32!-"#32!!""/#
所以3!-"单调递增#则3!-"#3!!"2/#
所以"!1-01""1(,!-"! !#分…………………………………………………………………
选考题"!/分#
##!解$!!"*! 的普通方程为$$-000*2/% #分……………………………………………………
*# 的直角坐标方程为-#30#0#-0%02/! )分………………………………………………
!#"解法一$由!!"#*# 的方程可化为$!-0!"#3!00#"#2)!
即*# 是圆心为!!##"#半径5 槡2 )的圆!
又圆心到直线*! 的距离为/2 槡!/
# # ,分………………………………………………………
故,67,2# 5#0/槡 # 2# )0槡)
# 槡2 !/! !/分………………………………………………
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解法二$将*! 的参数方程可化为
-2#3 8槡!/
#
02 $8槡!/
$
%
&
#
代入*# 的方程-#30#0#-0%02/#化简整理#得
8# 槡0 !/82/#所以8!2/#8# 槡2 !/#从而,67,2,8!08#, 槡2 !/! !/分……………………
#$!解$!!"当-)/时#则,!-"20$-3#*%#解得0#
$*-)/% !分……………………………
当/*-*#时#则,!-"2-3#*%#解得/*-*#% #分………………………………………
当-##时#则,!-"2$-0#*%#此时无解! $分………………………………………………
综上#不等式,!-"*%的解集为- 0#
$*-*& '# ! %分………………………………………
!#"由!!"知#当-)/时#,!-"20$-3###%当/*-*#时#则,!-"2-3#"#%当-##时#
则,!-"2$-0##%#故函数,!-"的最小值为##
所以"2##即%#3(#2%! *分……………………………………………………………………
则%
%# 3 !
(#3!2!
)!%#3(#3!" %
%# 3 !
(#! "3! +分…………………………………………………
2!
) )3%!(#3!"
%# 3 %#
(#) *3! "!
) )3# %!(#3!"
%# ( %#
(#槡! "3! "-
)# -分………………………
当且仅当%!(#3!"
%# 2 %#
(#3!且%#3(#2%#即%#2!/
$#(#2#
$取等号!
所以%
%# 3 !
(#3!最小值为-
)! !/分………………………………………………………………
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