2014-2015学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷 8页

‎2014-2015学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）‎ ‎ ‎ ‎1. ‎△ABC中，A=‎‎45‎‎∘‎，C=‎‎30‎‎∘‎，c=10‎，则a等于（ ） ‎ A.‎10‎ B.‎10‎‎2‎ C.‎10‎‎3‎ D.‎‎10‎‎6‎‎3‎ ‎ ‎ ‎2. 在等差数列‎{an}‎中，已知a‎1‎‎+a‎2‎=4‎，a‎2‎‎+a‎3‎=8‎，则a‎7‎等于（ ） ‎ A.‎7‎ B.‎10‎ C.‎13‎ D.‎‎19‎ ‎ ‎ ‎3. 若a>b，且‎1‎a>‎‎1‎b，则有（ ） ‎ A.a>0‎，b<0‎ B.a<0‎，b>0‎ C.a>0‎，b>0‎ D.a<0‎，‎b<0‎ ‎ ‎ ‎4. ‎△ABC中，a=3,b=‎7‎，c=2‎，则‎∠B=(‎ ‎)‎ ‎ A.π‎3‎ B.π‎4‎ C.π‎6‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎ ‎ ‎5. 由首项a‎1‎‎=1‎，公比q=2‎确定的等比数列‎{an}‎中，当an‎=64‎时，序号n等于（ ） ‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎7‎ ‎ ‎ ‎6. 设a，b，c，d∈R，给出下列命题： ①若ac>bc，则a>b； ②若a>b，c>d，则a+c>b+d； ③若a>b，c>d，则ac>bd； ④若ac‎2‎>bc‎2‎，则a>b． 其中真命题的序号是（ ） ‎ A.①② B.②④ C.①②④ D.②③④‎ ‎ ‎ ‎7. 在‎△ABC中，已知a＝‎5‎‎2‎，c＝‎10‎，A＝‎30‎‎∘‎，则B等于（ ） ‎ A.‎105‎‎∘‎ B.‎60‎‎∘‎ C.‎15‎‎∘‎ D.‎105‎‎∘‎或‎15‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎8. 等差数列‎{an}‎前‎17‎项和S‎17‎‎=51‎，则a‎5‎‎−a‎7‎+a‎9‎−a‎11‎+‎a‎13‎等于（        ） ‎ A.‎3‎ B.‎6‎ C.‎17‎ D.‎‎51‎ ‎ ‎ ‎9. 已知x>0‎，函数y=‎4‎x+x的最小值是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎5‎ B.‎4‎ C.‎8‎ D.‎‎6‎ ‎ ‎ ‎10. 在‎△ABC中，‎∠A=‎‎60‎‎∘‎，a=‎‎6‎，b=3‎，则‎△ABC解的情况（ ） ‎ A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定 ‎ ‎ ‎11. ‎{an}‎为等比数列，Sn是其前n项和，若a‎2‎‎⋅a‎3‎=8‎a‎1‎，且a‎4‎与‎2‎a‎5‎的等差中项为‎20‎，则S‎5‎‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎29‎ B.‎30‎ C.‎31‎ D.‎‎32‎ ‎ ‎ ‎12. 若正实数a，b满足a+b=1‎，则‎1‎a‎+‎‎4‎b的最小值是（ ） ‎ A.‎4‎ B.‎6‎ C.‎8‎ D.‎‎9‎ ‎ ‎ ‎13. 在‎△ABC中，sinA⋅sinB24‎ B.‎−71‎，则a+‎‎1‎a−1‎的最小值是________． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎与‎2‎‎2‎的等比中项为________． ‎ ‎ ‎ ‎ 若x，y满足约束条件y≥0‎y≤x‎2x+y−6≤0‎，则目标函数z=x+y的最大值是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知‎6‎，a，b，‎48‎成等差数列，‎6‎，c，d，‎48‎成等比数列，则a+b+c+d的值为________． ‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎ ‎ ‎ 在‎△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1‎，b=‎‎3‎，则S‎△ABC‎=‎________． ‎ 三、解答题（共4小题，满分50分）‎ ‎ ‎ ‎ 已知不等式ax‎2‎−3x+2>0‎ ‎ ‎（1）若a=−2‎，求上述不等式的解集；‎ ‎ ‎ ‎（2）不等式ax‎2‎−3x+2>0‎的解集为‎{x|x<1或x>b}‎，求a，b的值．‎ ‎ ‎ ‎ 已知等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，S‎5‎‎=35‎，a‎5‎和a‎7‎的等差中项为‎13‎． ‎ ‎（1）求an及Sn；‎ ‎ ‎ ‎（2）令bn‎=‎4‎an‎2‎‎−1‎(n∈N‎﹡‎)‎，求数列‎{bn}‎的前n项和Tn．‎ ‎ ‎ ‎ 在锐角‎△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且‎2asinB=‎3‎b． ‎ ‎(1)‎求角A的大小；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若a=6‎，b+c=8‎，求‎△ABC的面积．‎ ‎ ‎ ‎ 设数列‎{an}‎前n项和Sn，且Sn‎=2an−2‎，令bn‎=‎log‎2‎an. ‎ ‎(1)‎试求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎设cn‎=‎bnan，求证数列‎{cn}‎的前n项和Tn‎<2‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 参考答案与试题解析 ‎2014-2015学年山东省济南一中高二（上）期中数学试卷 一、选择题（共15小题，每小题5分，满分75分）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 直接利用正弦定理求得a的值．‎ ‎【解答】‎ 解：‎△ABC中，由正弦定理可得asinA‎=‎csinC，即asin‎45‎‎∘‎‎=‎‎10‎sin‎30‎‎∘‎，解得a=10‎‎2‎， 故选B．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ 根据题意和等差数列的通项公式列出方程，求出a‎1‎和d的值，再求出a‎7‎．‎ ‎【解答】‎ 解：设等差数列‎{an}‎的公差是d， 因为a‎1‎‎+a‎2‎=4‎，a‎2‎‎+a‎3‎=8‎， 所以‎2a‎1‎+d=4‎‎2a‎1‎+3d=8‎，解得a‎1‎‎=1‎d=2‎， 所以a‎7‎‎=a‎1‎+6d=1+12=13‎， 故选：C．‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 不等式比较两数大小 ‎【解析】‎ 利用不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ‎1‎a‎>‎‎1‎b，∴ b−aab‎>0‎， 又a>b，∴ b−a<0‎． ∴ ab<0‎， ∴ a>0‎，b<0‎． 故选：A．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 余弦定理 ‎【解析】‎ 根据余弦定理求cosB的表达式，代入题中的数据算出cosB=‎‎1‎‎2‎，结合B∈(0, π)‎即可得到角B的大小．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ ‎△ABC中，a=3,b=‎7‎，c=2‎， ∴ 由余弦定理，可得cosB=a‎2‎‎+c‎2‎−‎b‎2‎‎2ac=‎9+4−7‎‎2×3×2‎=‎‎1‎‎2‎． 又∵ B∈(0, π)‎，∴ B=‎π‎3‎． 故选：‎A ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 由等比数列的通项公式可得‎2‎n−1‎‎=64‎，解方程可得．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可得an‎=a‎1‎qn−1‎=‎2‎n−1‎=64‎， 解得n−1=6‎，即n=7‎ 故选D ‎6.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 不等式的基本性质 ‎【解析】‎ ‎①若ac>bc，则a>b，c≤0‎时不成立； ②利用不等式的基本性质即可得出； ③若a>b，c>d，取a=2‎，b=1‎，c=−2‎，d=−3‎，则acbc‎2‎，则c‎2‎‎>0‎，可得a>b．‎ ‎【解答】‎ 解：①若ac>bc，则a>b，c≤0‎时不成立； ②若a>b，c>d，则a+c>b+d，正确； ③若a>b，c>d，取a=2‎，b=1‎，c=−2‎，d=−3‎，则acbc‎2‎，则a>b，正确． 其中真命题的序号是②④． 故选：B．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ D 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 根据正弦定理 知asinA‎=‎csinC，将题中数据代入即可求出角C的正弦值，然后根据三角形的内角和，进而求出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 知a＝‎5‎‎2‎，c＝‎10‎，A＝‎30‎‎∘‎ 根据正弦定理可知asinA‎=‎csinC ∴ sinC=sinA⋅ca=‎‎2‎‎2‎ ∴ C＝‎45‎‎∘‎或‎135‎‎∘‎ B＝‎105‎‎∘‎ 或‎15‎‎∘‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 等差数列的性质 ‎【解析】‎ 此题暂无解析 ‎【解答】‎ 解析：由于S‎17‎‎=a‎1‎‎+‎a‎17‎‎2‎×17=17a‎9‎=51‎，所以a‎9‎‎=3‎．根据等差数列的性质a‎5‎‎+a‎13‎=a‎7‎+‎a‎11‎，所以a‎5‎‎−a‎7‎+‎a‎9‎‎−a‎11‎+a‎13‎=a‎9‎=3.‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式 ‎【解析】‎ 由于 x>0‎，利用基本不等式求得函数y=‎4‎x+x的最小值．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ x>0‎，函数y=‎4‎x+x≥2‎4‎x‎⋅x=4‎， 当且仅当x=‎‎4‎x，x=2‎时，等号成立， 故函数y=‎4‎x+x的最小值是‎4‎. 故选B. ‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正弦定理 ‎【解析】‎ 由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，求解即可．‎ ‎【解答】‎ 解：由正弦定理得：asinA‎=‎bsinB即‎6‎‎3‎‎2‎‎=‎‎3‎sinB，解得sinB=‎3‎‎2‎‎4‎>1‎， 因为，sinB∈[−1, 1]‎，故角B无解． 即此三角形解的情况是无解． 故选A．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 等比数列的前n项和 ‎【解析】‎ 利用等差数列与等比数列的通项公式可得a‎1‎，q，再利用前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】‎ 解：设等比数列‎{an}‎的公比为q， ∵ a‎2‎‎⋅a‎3‎=8‎a‎1‎， ∴ a‎1‎q⋅a‎1‎q‎2‎=8‎a‎1‎，化为a‎1‎q‎3‎‎=8‎． ∵ a‎4‎与‎2‎a‎5‎的等差中项为‎20‎，∴ a‎4‎‎+2a‎5‎=40‎， ∴ a‎1‎q‎3‎‎+2a‎1‎q‎4‎=40‎， ∴ ‎8+16q=40‎，解得q=2‎，a‎1‎‎=1‎． ∴ S‎5‎‎=‎2‎‎5‎‎−1‎‎2−1‎=31‎．‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 基本不等式在最值问题中的应用 ‎【解析】‎ 由已知中正实数a，b满足a+b=1‎，根据基本不等式“‎1‎的活用”，我们将分子式中的“‎1‎”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 正实数a，b满足a+b=1‎， ∴ ‎1‎a‎+‎4‎b=a+ba+‎4(a+b)‎b=5+(ba+‎4ab)≥9‎ 故‎1‎a‎+‎‎4‎b的最小值是‎9‎ 故选D ‎13.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 三角形的形状判断 两角和与差的余弦公式 ‎【解析】‎ 对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形状．‎ ‎【解答】‎ 解：因为在‎△ABC中，sinA⋅sinB0‎， 所以A+B∈(0, π‎2‎)‎，C>‎π‎2‎， 所以三角形是钝角三角形． 故选B．‎ ‎14.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 二元一次不等式（组）与平面区域 ‎【解析】‎ 由已知点‎(3, 1)‎和点‎(−4, 6)‎分布在直线‎3x−2y+a=0‎的两侧，我们将A，B两点坐标代入直线方程所得符号相反，则我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：若‎(3, 1)‎和点‎(−4, 6)‎分布在直线‎3x−2y+a=0‎的两侧 则‎[3×3−2×1+a]×[3×(−4)−2×6+a]<0‎ 即‎(a+7)(a−24)<0‎ 解得‎−71‎可将a−1‎看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a>1‎， ∴ a−1>0‎. a+‎1‎a−1‎=(a−1)+‎1‎a−1‎+1≥2+1=3‎， 当且仅当‎(a−1)=‎‎1‎a−1‎， 即a=2‎时取到等号. 故答案为：‎3‎.‎ ‎【答案】‎ ‎±2‎ ‎【考点】‎ 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ 由题意和等比中项的性质直接求出．‎ ‎【解答】‎ 解：设‎2‎与‎2‎‎2‎的等比中项为G， 则G‎2‎‎=‎2‎×2‎2‎=4‎，解得G=±2‎， 故答案为：‎±2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎4‎ ‎【考点】‎ 简单线性规划 ‎【解析】‎ 由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=−x+z，z相当于直线y=−x+z的纵截距，由几何意义可得．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意作出其平面区域， 将z=x+y化为y=−x+z，z相当于直线y=−x+z的纵截距， 则由y=6−2x与y=x联立解得， x=2‎，‎y=2‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎； 故z=2+2=4‎； 故答案为：‎4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎90‎ ‎【考点】‎ 等比中项 等差中项 ‎【解析】‎ 根据‎6‎，a，b，‎48‎成等差数列，可得a+b=6+48‎，根据‎6‎，c，d，‎48‎成等比数列，可得‎48=6‎q‎3‎，故公比q=2‎，求出c和d的值，即得a+b+c+d的值．‎ ‎【解答】‎ 解：根据‎6‎，a，b，‎48‎成等差数列，可得a+b=6+48=54‎， 根据‎6‎，c，d，‎48‎成等比数列， 可得‎48=6‎q‎3‎，故公比q=2‎， 故c+d=12+24=36‎，∴ a+b+c+d=54+36=90‎， 故答案为：‎90‎．‎ ‎【答案】‎ ‎3‎‎2‎ ‎【考点】‎ 正弦定理 等差数列的通项公式 ‎【解析】‎ 在‎△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得B=‎π‎3‎．由于a=1‎，b=‎‎3‎，由正弦定理可得sinA=‎‎1‎‎2‎，再结合a0‎等价为‎−2x‎2‎−3x+2>0‎， 即‎2x‎2‎+3x−2<0‎，‎(2x−1)(x+2)<0‎，解得‎−20‎的解集为‎{x|x<1或x>b}‎， ∴ a>0‎，且‎1‎，b是对应方程ax‎2‎−3x+2=0‎的两根， ∴ a−3+2=0‎，解得a=1‎． 又‎1×b=‎‎2‎a，解得b=2‎． 即a=1‎，b=2‎．‎ ‎【考点】‎ 一元二次不等式的解法 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，即解‎−2x‎2‎−3x+2>0‎，可先将二次项系数化为正数，再利用一元二次不等式的解法，求解即可．‎ ‎（2）根据一元二次不等式的性质可知，‎1‎，b是方程ax‎2‎−3x+2=0‎的两根，代入求解．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）若a=−2‎，则不等式ax‎2‎−3x+2>0‎等价为‎−2x‎2‎−3x+2>0‎， 即‎2x‎2‎+3x−2<0‎，‎(2x−1)(x+2)<0‎，解得‎−20‎的解集为‎{x|x<1或x>b}‎， ∴ a>0‎，且‎1‎，b是对应方程ax‎2‎−3x+2=0‎的两根， ∴ a−3+2=0‎，解得a=1‎． 又‎1×b=‎‎2‎a，解得b=2‎． 即a=1‎，b=2‎．‎ ‎【答案】‎ 解：（1） 设等差数列‎{an}‎的公差为d， 因为S‎5‎‎=5a‎3‎=35‎，a‎5‎‎+a‎7‎=26‎， 所以a‎1‎‎+2d=7‎‎2a‎1‎+10d=26‎，… 解得a‎1‎‎=3‎，d=2‎，… 所以an‎=3+2(n−1)=2n+1‎； Sn‎=3n+n(n−1)‎‎2‎×2=n‎2‎+2n．…‎ ‎（2） 由（1）知an‎=2n+1‎， 所以bn‎=‎4‎an‎2‎‎−1‎=‎‎1‎n(n+1)‎… ‎=‎1‎n−‎‎1‎n+1‎，… 所以Tn‎=(1−‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+…+(‎1‎n−‎1‎n+1‎)=1−‎1‎n+1‎=‎nn+1‎．…‎ ‎【考点】‎ 等差数列的通项公式 等差数列的前n项和 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 数列的求和 ‎【解析】‎ ‎（1）设等差数列‎{an}‎的公差为d，由已知S‎5‎‎=5a‎3‎=35‎，a‎5‎‎+a‎7‎=26‎，结合等差数列的通项公式及求和公式可求a‎1‎，d，进而可求an，Sn，‎ ‎（2）由（1）可求bn‎=‎4‎an‎2‎‎−1‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n−‎‎1‎n+1‎，利用裂项即可求和 ‎【解答】‎ 解：（1） 设等差数列‎{an}‎的公差为d， 因为S‎5‎‎=5a‎3‎=35‎，a‎5‎‎+a‎7‎=26‎， 所以a‎1‎‎+2d=7‎‎2a‎1‎+10d=26‎，… 解得a‎1‎‎=3‎，d=2‎，… 所以an‎=3+2(n−1)=2n+1‎； Sn‎=3n+n(n−1)‎‎2‎×2=n‎2‎+2n．…‎ ‎（2） 由（1）知an‎=2n+1‎， 所以bn‎=‎4‎an‎2‎‎−1‎=‎‎1‎n(n+1)‎… ‎=‎1‎n−‎‎1‎n+1‎，… 所以Tn‎=(1−‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎−‎1‎‎3‎)+…+(‎1‎n−‎1‎n+1‎)=1−‎1‎n+1‎=‎nn+1‎．…‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎由‎2asinB=‎3‎b，利用正弦定理得：‎2sinAsinB=‎3‎sinB， ∵ sinB≠0‎， ∴ sinA=‎‎3‎‎2‎， 又A为锐角， 则A=‎π‎3‎；‎ ‎(2)‎由余弦定理得：a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎−2bc⋅cosA， 即‎36=b‎2‎+c‎2‎−bc=(b+c‎)‎‎2‎−3bc=64−3bc， ∴ bc=‎‎28‎‎3‎， 又sinA=‎‎3‎‎2‎， 则S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎bcsinA=‎‎7‎‎3‎‎3‎.‎ ‎【考点】‎ 余弦定理 正弦定理 ‎【解析】‎ ‎（1）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；‎ ‎（2）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎由‎2asinB=‎3‎b，利用正弦定理得：‎2sinAsinB=‎3‎sinB， ∵ sinB≠0‎， ∴ sinA=‎‎3‎‎2‎， 又A为锐角， 则A=‎π‎3‎；‎ ‎(2)‎由余弦定理得：a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎−2bc⋅cosA， 即‎36=b‎2‎+c‎2‎−bc=(b+c‎)‎‎2‎−3bc=64−3bc， ∴ bc=‎‎28‎‎3‎， 又sinA=‎‎3‎‎2‎， 则S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎bcsinA=‎‎7‎‎3‎‎3‎.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)‎解：当n≥2‎时， an‎=Sn−Sn−1‎=(2an−2)−(2an−1‎−2)=2an−2‎an−1‎， 所以，an‎=2‎an−1‎， 即anan−1‎‎=2‎， 当n=1‎时，S‎1‎‎=2a‎1‎−2‎，a‎1‎‎=2‎， 由等比数列的定义知， 数列‎{an}‎是首项为‎2‎，公比为‎2‎的等比数列， 所以，数列‎{an}‎的通项公式为： an‎=2×‎2‎n−1‎=‎2‎n，n∈‎N‎+‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页 ‎(2)‎证明：由‎(1)‎知cn‎=nan=‎n‎2‎n， 所以Tn‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+…+n−1‎‎2‎n−1‎+‎n‎2‎n，① 以上等式两边同乘以‎1‎‎2‎， 得‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+…+n−1‎‎2‎n+‎n‎2‎n+1‎，② ①‎−‎②，得， ‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=‎1‎‎2‎‎[1−(‎1‎‎2‎‎)‎n]‎‎1−‎‎1‎‎2‎−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−(‎1‎‎2‎‎)‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−‎1‎‎2‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−‎n+2‎‎2‎n+1‎， 所以Tn‎=2−‎n+2‎‎2‎n． 所以Tn‎<2‎．‎ ‎【考点】‎ 数列与不等式的综合 数列的求和 等比数列的前n项和 等比数列的通项公式 ‎【解析】‎ ‎（1）由已知条件推导出‎{an}‎是首项为‎2‎，公比为‎2‎的等比数列，从而可求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法，可求数列‎{cn}‎的前n项和Tn，即可证明结论．‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎解：当n≥2‎时， an‎=Sn−Sn−1‎=(2an−2)−(2an−1‎−2)=2an−2‎an−1‎， 所以，an‎=2‎an−1‎， 即anan−1‎‎=2‎， 当n=1‎时，S‎1‎‎=2a‎1‎−2‎，a‎1‎‎=2‎， 由等比数列的定义知， 数列‎{an}‎是首项为‎2‎，公比为‎2‎的等比数列， 所以，数列‎{an}‎的通项公式为： an‎=2×‎2‎n−1‎=‎2‎n，n∈‎N‎+‎．‎ ‎(2)‎证明：由‎(1)‎知cn‎=nan=‎n‎2‎n， 所以Tn‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+…+n−1‎‎2‎n−1‎+‎n‎2‎n，① 以上等式两边同乘以‎1‎‎2‎， 得‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+…+n−1‎‎2‎n+‎n‎2‎n+1‎，② ①‎−‎②，得， ‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+…+‎1‎‎2‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=‎1‎‎2‎‎[1−(‎1‎‎2‎‎)‎n]‎‎1−‎‎1‎‎2‎−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−(‎1‎‎2‎‎)‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−‎1‎‎2‎n−‎n‎2‎n+1‎ ‎=1−‎n+2‎‎2‎n+1‎， 所以Tn‎=2−‎n+2‎‎2‎n． 所以Tn‎<2‎．‎ 第13页 共16页 ◎ 第14页 共16页