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- 2021-06-10 发布
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专题五 圆锥曲线的综合及应用问题
第
1
课时
题型
1
利用圆
锥曲线的方程性质求最值、范围问题
圆锥曲线中常见最值问题及解题方法:
(1)
两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关
的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些
元素存在最值时与之相关的一些问题
.
(2)
两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显
体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立
起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、
配方法及导数法求解
.
(3)
两点防范:①求范围问题要注意变量自身的范围
.
②
利用几何意义求最值时,要注意“相切”与“公共点唯
一”的不等价关系,注意特殊关系,特殊位置的应用
.
解析:
设左焦点为
F
1
,
|
PF
|
-
|
PF
1
|
=
2
a
=
2
,
∴|
PF
|
=
2
+
|
PF
1
|
,△
APF
的周长为
|
AF
|
+
|
AP
|
+
|
PF
|
=
|
AF
|
+
|
AP
|
+
2
+
|
PF
1
|.
△
APF
周长最小即为
|
AP
|
+
|
PF
1
|
最小,当
A
,
P
,
F
1
在一条
直线上时最小,
圆上任一点,点
M
的坐标为
(6,4)
,则
|
PM
|
+
|
PF
1
|
的最大值为
________.
解析:
∵
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
=
10
,∴
|
PF
1
|
=
10
-
|
PF
2
|.
∴|
PM
|
+
|
PF
1
|
=
10
+
|
PM
|
-
|
PF
2
|.
易知点
M
在椭圆外,连接
MF
2
,并延长交椭圆于点
P
,此时
|
PM
|
-
|
PF
2
|
取最大值
|
MF
2
|
,故
答案:
15
F
1
,
F
2
.
若点
P
在双曲线上,且△
F
1
PF
2
为锐角三角形,则
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
的取值范围是
________.
【
规律方法
】
先由对称性可设点
P
在右支上,进而可得
|
PF
1
|
和
|
PF
2
|
,再由△
F
1
PF
2
为锐角三角形可得
|
PF
1
|
2
+
|
PF
2
|
2
>
|
F
1
F
2
|
2
,
进而可得
x
的不等式,解不等式可得
|
PF
1
|
+
|
PF
2
|
的取值范围
.
答案:
C
∴
当
m
=
5
时,点
B
横坐标的绝对值最大,最大值为
2.
答案:
5
(6)(2018
年福建福州质检
)
如图
5-1
,直线
y
=
m
与抛物线
y
2
=
4
x
交于点
A
,与圆
(
x
-
1)
2
+
y
2
=
4
的实线部分交于点
B
,
F
)
为抛物线的焦点,则三角形
ABF
的周长的取值范围是
(
图
5-1
A.(2,4)
C.[2,4]
B.(4,6)
D.[4,6]
解析:
设
B
(
x
B
,
y
B
)
,则
1≤
x
B
≤3.
∵
可以构成三角形
ABF
,∴
1<
x
B
<3.
∵
圆的半径
|
BF
|
=
2
,
抛物线的准线方程为
x
=-
1
,
利用抛物线定义,
|
AF
|
等于点
A
到直线
x
=-
1
的距离
d
,
∴
三角形
ABF
的周长
l
=
|
AF
|
+
|
AB
|
+
|
BF
|
=
|
AF
|
+
|
AB
|
+
2
=
d
+
|
AB
|
+
2
=
x
B
-
(
-
1)
+
2
=
x
B
+
3
,故
4<
l
<6.
答案:
B
题型
2
利用基本不等式
(
或导数
)
求最值、范围问题
例
2
:
(20
16
年新课标
Ⅰ
)
设圆
x
2
+
y
2
+
2
x
-
15
=
0
的圆心为
A
,直线
l
过点
B
(1,0)
且与
x
轴不重合,
l
交圆
A
于
C
,
D
两点,
过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
(1)
求证
|
EA
|
+
|
EB
|
为定值,并写出点
E
的轨迹方程;
(2)
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
,直线
l
交
C
1
于
M
,
N
两点,
过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
,
Q
两点,求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
解:
(1)∵|
AD
|
=
|
AC
|
,
EB
∥
AC
,
∴∠
EBD
=∠
ACD
=∠
ADC
.
∴|
EB
|
=
|
ED
|.
故
|
EA
|
+
|
EB
|
=
|
EA
|
+
|
ED
|
=
|
AD
|.
又圆
A
的标准方程为
(
x
+
1)
2
+
y
2
=
16
,
从而
|
AD
|
=
4
,∴
|
EA
|
+
|
EB
|
=
4.
由题设,得
A
(
-
1,0)
,
B
(1,0)
,
|
AB
|
=
2.
【
规律方法
】
(1)
求参数范围的问题,牢记
“先找不等式,
有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要
求的量”
.
不等式的来源可以是
Δ
>0
或圆锥曲线的有界性或是
题目条件中的某个量的取值范围
.
(2)
求最值的问题,牢记
“转化为只含一个变量的目标
函
数,确定变量的取值范围
”
或
“
考虑几何意义
”
.
例
3
:
(20
19
年浙江
)
如图
5-2
,已知点
F
(1,0)
为抛物线
y
2
=
2
px
(
p
>0)
的焦点,过点
F
的直线交抛物线于
A
,
B
两点,点
C
在抛物线上,使得△
ABC
的重心
G
在
x
轴上,直线
AC
交
x
轴
于点
Q
,且
Q
在点
F
右侧 记
.
AFG
,△
CQG
的面积为
S
1
,
S
2
.
图
5-2
(1)
求
p
的值及抛物
线的准线方程;
【
跟踪训练
】
的两个焦点,
P
为
C
上一点,
O
为坐标原点
.
(1)
若△
POF
2
为等边三角形,求
C
的离心率;
(2)
如果存在点
P
,使得
PF
1
⊥
PF
2
,且△
F
1
PF
2
的面积等于
16
,求
b
的值和
a
的取值范围
.
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