2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题五 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 练典型习题 提数学素养含解析 4页

‎1．已知F为椭圆C：＋＝1的右焦点，M为C上的任意一点．‎ ‎(1)求|MF|的取值范围；‎ ‎(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－，证明：M，N两点的横坐标之和为常数．‎ 解：(1)依题意得a＝2，b＝，所以c＝ ＝1，‎ 所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1，0)，‎ 设椭圆C上的任意一点M的坐标为(xM，yM)，‎ 则＋＝1，‎ 所以|MF|2＝(xM－1)2＋y＝(xM－1)2＋3－x＝x－2xM＋4＝(xM－4)2，‎ 又－2≤xM≤2，所以1≤|MF|2≤9，‎ 所以1≤|MF|≤3，‎ 所以|MF|的取值范围为[1，3]．‎ ‎(2)证明：设P，M，N三点的坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)，‎ 设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为y－yP＝k1(x－xP)，‎ 联立方程，得消去y，得 ‎(3＋4k)x2－8k1(k1xP－yP)x＋4kx－8k1xPyP＋4y－12＝0，‎ 由根与系数的关系可得xM＋xP＝，‎ 所以xM＝－xP＝，‎ 同理可得xN＋xP＝，‎ 又k1·k2＝－，‎ 故xN＋xP＝＝＝，‎ 则xN＝－xP＝－＝－xM，‎ 从而xN＋xM＝0，‎ 即M，N两点的横坐标之和为常数．‎ ‎2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF1F2的周长为4＋2，且面积的最大值为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，求|OP|的取值范围．‎ 解：(1)由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋2，可得2(a＋c)＝4＋2，所以a＋c＝2＋①.‎ 当A在上(或下)顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝②，‎ 由①②及a2＝c2＋b2，得a＝2，b＝1，c＝，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，因为k1k2＝－，所以k1＝±，不妨取k1＝，则直线OA的方程为y＝x，‎ 不妨取点A，则B，P(，0)，所以|OP|＝.‎ 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝16(4k2＋1－m2)>0①，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为k1k2＝－，所以4y1y2＋x1x2＝0，‎ 所以4(kx1＋m)(kx2＋m)＋x1x2＝(4k2＋1)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝4m2－4－＋4m2＝0，‎ 化简得2m2＝1＋4k2(满足①式)，所以m2≥.‎ 设P(x0，y0)，则x0＝＝＝，y0＝kx0＋m＝.‎ 所以|OP|2＝x＋y＝＋＝2－∈，所以|OP|∈.‎ 综上，|OP|的取值范围为.‎ ‎3．(2019·济南模拟)已知椭圆D：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，点(－，1)在椭圆D上．‎ ‎(1)求椭圆D的方程；‎ ‎(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1＋k2＝λk，求实数λ的取值范围．‎ 解：(1)椭圆D的离心率e＝＝，所以a＝b，‎ 又点(－，1)在椭圆D上，所以＋＝1，得a＝2，b＝，所以椭圆D的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意得，直线l的方程为y＝kx＋t.‎ 由，消元可得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－4＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＝2k＋t··＝.‎ 由k1＋k2＝λk，得＝λk，‎ 因为此等式对任意的k都成立，所以＝λ，‎ 即t2＝2－.‎ 因为点P(0，t)在椭圆内，所以0≤t2<2，‎ 即0≤2－<2，解得λ≥2.‎ 所以实数λ的取值范围是[2，＋∞)．‎ ‎4．(2019·重庆七校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求△ABP的面积取最大值时，直线l的方程．‎ 解：(1)依题意知，e＝＝，‎ 左焦点(－c，0)到点P(2，1)的距离d0＝＝，‎ 得a2＝4，c2＝1，所以b2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)易得直线OP的方程为y＝x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y0≠0)，其中y0＝x0.‎ 因为A，B在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得－＋－＝0，即＋＝0，‎ 故kAB＝＝－·＝－.‎ 由题意可设直线l的方程为y＝－x＋m(m≠0)，代入＋＝1中，消去y并整理得3x2－3mx＋m2－3＝0，‎ 由Δ＝(3m)2－4×3(m2－3)＝3(12－m2)>0，‎ 得－20，当m∈(1－，2)且m≠0时，f′(m)<0，所以当m＝1－时，S△ABP取得最大值，此时直线l的方程为3x＋2y＋2－2＝0.‎ ‎ ‎