高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2椭圆的简单几何性质教案新人教A版选修1-1 6页

2.2 椭圆的简单几何性质 教学目标： (1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质; (2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备. 教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 教学难点:椭圆离心率的概念的理解. 教学方法：讲授法 课型：新授课 教学工具：多媒体设备 一、复习： 1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距. 2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课： （一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养 能力. [在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.] 已知椭圆的标准方程为： )0(12 2 2 2  bab y a x 1.范围 [我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中 x，y 的范围就知道了.] 问题 1 方程中 x、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等 式 2 2 a x ≤1, 2 2 b y ≤1 即 x2≤a2, y2≤b2 所以 |x|≤a， |y|≤b 即 －a≤x≤a, －b≤y≤b 这说明椭圆位于直线 x＝±a, y＝±b 所围成的矩形里。 2.对称性 复习关于 x 轴，y 轴，原点对称的点的坐标之间的关系： 点（x,y）关于 x 轴对称的点的坐标为(x,－y)； 点（x,y）关于 y 轴对称的点的坐标为(－x, y)； 点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)； 问题 2 在椭圆的标准方程中①以－y 代 y②以－x 代 x③同时以－x 代 x、以－y 代 y,你有 什么发现? （1） 在曲线的方程里，如果以－y 代 y 方程不变，那么当点 P(x,y)在曲线上 时，它关于 x 的轴对称点 P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对 称。 （2） 如果以－x 代 x 方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关 于 y 轴对称。] （3） 如果同时以－x 代 x、以－y 代 y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关 于原点对称。] 归纳提问：从上面三种情况看出，椭圆具有怎样的对称性？ 椭圆关于 x 轴，y 轴和原点都是对称的。 这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴] 椭圆的对称中心是什么？[原点] 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 3.顶点 [研究曲线的上的某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位 置，常常需要求出曲线与 x 轴，y 轴的交点坐标.] 问题 3 怎样求曲线与 x 轴、y 轴的交点? 在椭圆的标准方程里， 令 x=0,得 y=±b。这说明了 B1(0,－b),B2(0,b)是椭圆与 y 轴的两个交 点。 令 y=0,得 x=±a。这说明了 A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与 x 轴的两个交点。 因为 x 轴，y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫 做椭圆的顶点。 线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴。 它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长) 观察图形，由椭圆的对称性可知，椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等，且等于长 半轴长，即 |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a 在 Rt△OB2F2 中，由勾股定理有 |OF2|2=|B2F2|2－|OB2|2 ，即 c2＝a2－b2 这就是在前面一节里，我们令 a2－c2＝b2 的几何意义。 4.离心率 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 e＝ a c ，叫做椭圆的离心率。 因为 a>c>0,所以 0