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- 2021-06-10 发布
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1.1 集合
课堂探究
探究一 补集的运算
1．补集符号∁ UA 的三层含义：
(1)∁ UA 表示一个集合；
(2)A 是 U 的子集，即 A⊆U；
(3)∁ UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
2．求补集的方法：
求给定集合 A 的补集通常利用补集的定义去求，从全集 U 中去掉属于集合 A的元素后，
由所有剩下的元素组成的集合即为 A 的补集．也常利用 Venn 图或数轴求解．
【典型例题 1】(1)设全集 U＝{n|n 是小于 10 的正整数}，A＝{n|n 是 3 的倍数，n∈U}，
求∁ UA；
(2)设全集 U＝R，集合 A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－32}．
画数轴如图：
显然，∁ UA ∁ UB.
方法技巧在利用数轴解答集合的运算问题时，要特别注意端点值能否取得．在数轴上表
示集合时，点的实(心)空(心)要分清，这样有利于准确解答问题．
探究二 交集、并集、补集的综合运算
交集、并集、补集的综合运算主要有两种情况：
(1)对于有限集，先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交、并、补集的定义来求
解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于 Venn 图来求解，这样处理起来，相对
来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)对于无限集，常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据交、
并、补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题．
【典型例题 2】 已知全集 U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，
求∁ UA，∁ UB，(∁ UA)∩(∁ UB)．
思路分析：由于 U，A，B 均为无限集，所求问题是集合间的交集、并集、补集运算，故
考虑借助数轴求解．
解：将集合 U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则∁ UA＝{x|－1≤x≤3}；
∁ UB＝{x|－5≤x<－1，或 1≤x≤3}；
方法一：(∁ UA)∩(∁ UB)＝{x|1≤x≤3}．
方法二：∵A∪B＝{x|－5≤x<1}，
∴(∁ UA)∩(∁ UB)＝∁ U(A∪B)
＝{x|1≤x≤3}．
探究三 补集思想的应用
有些数学问题，若直接从正面解决，或解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用
补集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索已知和未知之间的关系，从而化繁为
简，化难为易，开拓解题思路．
【典型例题 3】 已知集合 A＝{x|x>a＋5，或 x2}．
探究四易错辨析
易错点 忽略检验或考虑不全面
【典型例题 4】 设全集 U＝{2,3，a2
＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁ UA＝{5}，求实数 a
的值．
错解：∵∁ UA＝{5}，
∴5∈U，且 5∉ A，
∴a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，
解得 a＝2 或 a＝－4，即实数 a 的值是 2 或－4.
正解：∵∁ UA＝{5}，
∴5∈U，且 5∉ A，且|2a－1|＝3.
解得 a＝2，
即 a 的取值是 2.
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