2019学年高中数学暑假作业 第二部分 不等式（2） 7页

不等式2 ‎ 在约束条件下，求目标函数的最值问题，通常会转化为求直线在轴上截距、平面上两点距离、直线斜率、区域面积等几何量的取值范围问题，此类问题突出体现了数形结合的数学思想。‎ ‎1.已知变量满足约束条件，则的最大值为( )‎ ‎ ‎ ‎3. 若满足约束条件，则的最小值为 。‎ ‎5.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 ‎ 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）‎ A．50，0 B．30，‎20 C．20，30 D．0，50‎ ‎10. 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )‎ A. B‎.4 C. D.2‎ 7‎ ‎11.设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A B C D ‎ ‎12. 若实数x、y满足则的取值范围是 （ ）‎ A.(0,1) B. C.(1,+) D.‎ ‎14.设平面点集，则所表示的平面图形的面积为 A B C D ‎ ‎15.在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎16. 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 .‎ ‎17. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 ‎（A） （B） （C） （D） 高 ‎18.若，且当时，恒有，则以,b为坐标点所形成的平面区域的面积等于__________.‎ 7‎ ‎19.在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. －5 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎ ‎ 7‎ 不等式2‎ ‎1、选 【解析】约束条件对应内的区域(含边界)，其中 画出可行域，结合图形和z的几何意义易得 ‎3、答案：‎ ‎【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点时，目标函数最大，当目标函数过点时最小为.]‎ ‎5、选B；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x、y亩，总利润为z万元， 则目标函数为 ‎ ‎. 线性约束条件为 ‎ 即 作出不等式组表示的可行域, ‎ 易求得点. 平移直线，可知当直线，经过点，‎ 即时 z取得最大值，且（万元）. 故选B.‎ 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：‎ ‎(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？‎ ‎(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;‎ ‎(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；‎ 7‎ ‎(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．‎ ‎10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。‎ ‎【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为，所以选B。‎ 评注：在线性约束条件下，求分别在关于一直线对称的两个区域内的两点距离的最值问题，通常转化为求其中一点(x，y)到对称轴的距离的的最值问题。结合图形易知，可行域的顶点及可行域边界线上的点是求距离最值的关键点.‎ ‎11、选D；【解析】题目中表示的区域为正方形，如图所示，而动点M可 ‎ 以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，‎ 因此 ，故选D.‎ ‎12、选C；【解析】如图，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知，，选C.‎ 评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值. 结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点. 在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1.‎ 7‎ ‎14、选；【解析】由对称性：围成的面积与围成的面积相等，得：所表示的平面图形的面积为围成的面积既 ‎15、选B；【解析】令，则，代入集合A，易得，其所对应的平面区域如图阴影部分，则平面区域的面积为×2×1＝1，∴选B.‎ 评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域.‎ ‎16、答案；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域，‎ 其中： .‎ 当从－2连续变化到1时，动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知，其面积为：.‎ 评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图是解题的关键.‎ A x D y C O y=kx+‎ ‎17、选A； 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）‎ ‎∴△ABC=，设与的交点为D，‎ 7‎ 则由知，∴， ∴，选A. ‎ ‎18、答案1；【解析】如图，阴影部分为不等式组表示的平面区域， 要使得恒有成立，只须平面区域顶点的坐标都满足不等式，易得所以所形成的平面区域的面积等于1.‎ 评注：本题是线性规划背景下的不等式恒成立问题，只须考虑可行域的顶点即可. 作为该试卷客观题的最后一题，熟悉的题面有效避免了学生恐惧心理的产生，但这并不等于降低了对数学能力、数学思想方法的考查，真可谓简约而不简单.‎ ‎19、选D；【解析】 作出不等式组所围成的平面区域. 如图所示，由题意可知，公共区域的面积为2；∴|AC|=4，点C的坐标为（1，4）代入得a=3，故选D. ‎ 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数a这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点(0，1)；此时可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解. ‎ 7‎