高中数学北师大版新教材必修一同步课件：2-2-1-1　函 数 概 念 42页

第 1 课时　函 数 概 念 必备知识 · 自主学习 1. 函数 (1) 概念 : ① 定义 : 给定实数集 R 中的两个非空数集 A 和 B. 如果存在一个对应关系 f, 使对于 集合 A 中的每个数 x, 在集合 B 中都有 __________________ 和它对应 , 那么就把对应关系 f 称为定义在 集合 A 上的一个函数 .  导思 初中学习过用函数来刻画两个变量之间的对应关系 , 那么函数还有没有其他的定义方法 ? 唯一确定的数 y ② 记法 :y=f(x),x∈A. ③ 定义域 :x 的取值范围 A; 值域 : 与 x 的值对应的 y 值叫作函数值 , 即集合 ____________. (2) 本质 : 函数的集合定义 . (3) 应用 : 给出了函数的一般性定义 . {f(x)|x∈A} 【 思考 】 (1) 对于函数 f:A→B, 值域一定是集合 B 吗 ? 为什么 ? 提示 : 不一定 . 值域是集合 B 的子集 , 即 {f(x)|x∈A} ⊆ B. (2) 对应关系 f 必须是一个解析式的形式吗 ? 为什么 ? 提示 : 不一定 . 可以是数表 , 也可以是图象 . (3)f(x) 的含义是什么 ? 提示 : 集合 A 中的数 x 在对应关系 f 的作用下对应的数 . 2. 同一个函数 前提条件 _______ 相同 _________ 完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 定义域 对应关系 【 思考 】 函数有定义域、对应关系和值域三要素 , 为什么判断两个函数是否是同一个函数 , 只看定义域和对应关系 ? 提示 : 由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域 , 所以判断两个函数是否是同一个函数 , 只看定义域和对应关系即可 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√” , 错的打“ ×”) (1)“y=f(x)” 表示的是“ y 等于 f 与 x 的乘积” . ( 　　 ) (2) 根据函数的定义 , 定义域中的任何一个 x 可以对应着值域中不同的 y. ( 　　 ) (3) 在研究函数时 , 除用符号 f(x) 外 , 还可用 g(x),F(x),G(x) 等来表示函数 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 符号 y=f(x) 是 “ y 是 x 的函数 ” 的数学表示 , 应理解为 x 是自变量 , 它是关系所施加的对象 . (2)×. 根据函数的定义 , 对于定义域中的任何一个 x, 在值域中都有唯一的 y 与之对应 . (3)√. 同一个题中 , 为了区别不同的函数 , 常采用 g(x),F(x),G(x) 等来表示函数 . 2. 下列两个变量之间的关系不是函数关系的是 ( 　　 ) A. 出租车车费与出租车行驶的里程 B. 商品房销售总价与商品房建筑面积 C. 铁块的体积与铁块的质量 D. 人的身高与体重 【 解析 】 选 D.A. 出租车车费与行程是函数关系 ;B. 商品房销售总价与建筑面积是函数关系 ;C. 铁块的体积与质量是函数关系 ;D. 人的身高与体重不是函数关系 . 3.( 教材二次开发 : 练习改编 ) 如图能表示函数关系的是 ______ .  【 解析 】 由于③中的 2 与 1 和 3 同时对应 , 故③不是函数关系 . 答案 : ①②④ 关键能力 · 合作学习 类型一　函数的概念 ( 数学抽象 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 临沂高一检测 ) 图中所给图象是函数图象的个数为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 2. 设集合 P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2}, 则图中能表示 P 到 Q 的函数的是 ( 　　 ) A.(1)(2)(3)(4) B.(1)(3)(4) C.(4) D.(3) 3. 以下从 M 到 N 的对应关系表示函数的是 ( 　　 ) A.M=R,N={y|y>0},f:x→y=|x| B.M={x|x≥2,x∈N * },N={y|y≥0,y∈N * },f:x→y=x 2 -2x+2 C.M={x|x>0},N=R,f:x→y=± D.M=R,N=R,f:x→y= 【 解析 】 1. 选 B.① 的图象中 , 当 x>0 时 , 每一个 x 值都有两个 y 值与之相对应 , 故①中的图象不是函数图象 ;② 的图象中 , 当 x=x 0 或 x<0 时 , 有两个 y 值与之相对应 , 故②中的图象不是函数图象 ; ③④ 的图象中 , 对于每一个 x 值都有唯一的 y 值与之对应 , 符合函数的定义 , 故③④中的图象是函数的图象 , 所以是函数图象的有 2 个 . 2. 选 C. 对于 (1), 根据函数的定义 , 在定义域内的任何一个 x 值 , 都唯一对应一个 y 值 , 而当 x=1 时 , 有 2 个 y 值与之对应 , 故 (1) 不正确 ; 对于 (2), 定义域 {x|00},f:x→y=|x|, M 中元素 0, 在 N 中无对应的元素 , 不满足函数的定义 ;B 中 ,M={x|x≥2,x∈N * },N= {y|y≥0,y∈N * },f:x→y=x 2 -2x+2,M 中任一元素 , 在 N 中都有唯一的元素与之对应 , 满足函数的定义 ;C 中 ,M={x|x>0},N=R,f:x→y=± ,M 中任一元素 , 在 N 中都有 两个对应的元素 , 不满足函数的定义 ;D 中 M=R,N=R,f:x→y= ,M 中元素 0, 在 N 中 无对应的元素 , 不满足函数的定义 . 【 解题策略 】 1. 判断一个对应是否是函数的方法 2. 根据图象判断对应是否为函数的步骤 (1) 任取一条垂直于 x 轴的直线 l . (2) 在定义域内平行移动直线 l . (3) 若 l 与图象有且只有一个交点 , 则是函数 ; 若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点 , 则不是函数 . 如图所示 : 【 补偿训练 】 　　 (2020· 朝阳高一检测 ) 图中 , 能表示函数 y=f(x) 的图象的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 根据题意 , 对于 A,B 两图 , 可以找到一个 x 与两个 y 对应的情形 ; 对于 C 图 , 当 x=0 时 , 有两个 y 值对应 ; 对于 D 图 , 每个 x 都有唯一的 y 值对应 . 因此 ,D 图可以表示函数 y=f(x). 类型二　函数的三要素 ( 数学运算 ) 　角度 1 　定义域和值域  【 典例 】 (2020· 丰台高一检测 ) 已知函数 y=f(x) 的图象如图所示 , 则该函数的定义域为 ______ , 值域为 ______ .  【 思路导引 】 观察横坐标的取值确定定义域 , 观察纵坐标的取值确定值域 . 【 解析 】 根据 y=f(x) 的函数图象可看出 ,f(x) 的定义域为 {x|-2≤x≤4 或 5≤x≤8}, 值域为 {y|-4≤y≤3}. 答案 : {x|-2≤x≤4 或 5≤x≤8} 　 {y|-4≤y≤3} 【 变式探究 】 若已知函数 f(x)=x 2 ,x∈{-1,0,1}, 试求函数的值域 . 【 解析 】 由 x∈{-1,0,1}, 代入 f(x)=x 2 , 解得 f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1, 根据集合的互异性 , 函数的值域为 {0,1}. 角度 2 　对应关系  【 典例 】 (2020· 哈尔滨高一检测 ) 德国数学家狄利克雷在 1837 年时提出 :“ 如 果对于 x 的每一个值 ,y 总有一个完全确定的值与之对应 , 则 y 是 x 的函数” , 这个 定义较清楚地说明了函数的内涵 . 只要有一个法则 , 使得 x 在取值范围中的每一 个值 , 都有一个确定的 y 和它对应就行了 , 不管这个对应的法则是公式、图象、 表格还是其他形式 , 已知函数 f(x) 由表给出 , 则 的值为 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 x x≤1 10} 时 , 函数值为 1, 在 x=0 时 , 函数值为 0, 在 x∈{x|x<0} 时 , 函数值为 -1. 故函数的值域为 {-1,0,1}. 2. 已知函数 f(x),g(x) 分别由表给出 则方程 g(f(x))=3 的解集为 ________ .  x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 【 解析 】 根据题意 , 若方程 g(f(x))=3, 必有 f(x)=1, 则有 x=1 或 3, 即方程 g(f(x))=3 的解集为 {1,3}. 答案 : {1,3} 【 补偿训练 】 已知函数 f(x) 与 g(x) 分别由表给出 , 那么 f(g(3))= ________ .  x 1 2 3 4 f(x) 2 3 4 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 4 1 2 【 解析 】 由题意得 g(3)=1,f(g(3))=f(1)=2. 答案 : 2 类型三　判断同一个函数 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 (2020· 丰台高一检测 ) 下列各组函数 , 是同一个函数的是 ( 　　 ) A.f(x)=x+1,g(x)= +1 B.f(x)=x,u= C.f(x)=1,g(x)=(x-1) 0 D.f(x)= m=|n| 【 思路导引 】 判断定义域、对应关系是否相同 . 【 解析 】 选 D. 对于 A, 函数 f(x)=x+1(x∈R), 与 g(x)= +1=x+1(x≠0) 的定义域 不同 , 不是同一个函数 ; 对于 B, 函数 f(x)=x(x∈R), 与 u= =|v|(v∈R) 的对应 关系不同 , 不是同一个函数 ; 对于 C, 函数 f(x)=1(x∈R), 与 g(x)=(x-1) 0 =1(x≠1) 的定义域不同 , 不是同一个函 数 ; 对于 D, 函数 f(x)= =|x|(x∈R), 与 m=|n|(n∈R) 的定义域相同 , 对应关 系也相同 , 是同一个函数 . 【 解题策略 】 　判断函数是否是同一个函数的三个步骤和两个注意点 (1) 三个步骤 . (2) 两个注意点 . ① 在化简解析式时 , 必须是等价变形 ; ② 与用哪个字母表示变量无关 . 【 跟踪训练 】 (2020· 宁德高一检测 ) 下列两个函数是同一个函数的是 ( 　　 ) A.f(x)=x 2 ,g(x)= B.f(x)= ,g(x)=x 0 C.f(x)= ,g(x)=x+1 D.f(x)= ,g(x)=|x| 【 解析 】 选 B.A.f(x) 的定义域为 R,g(x) 的定义域为 {x|x≠0}, 两个函数的定义域不相同 , 不是同一个函数 ; B.f(x)= =1, 函数的定义域为 {x|x≠0},g(x)=x 0 =1, 定义域为 {x|x≠0}, 两个 函数的定义域相同 , 对应关系也相同 , 是同一个函数 ; C.f(x)=x+1(x≠1), 两个函数的定义域不相同 , 不是同一个函数 . D.f(x) 的定义域为 [0,+∞),g(x) 的定义域是 R, 两个函数的定义域和对应关系不 相同 , 不是同一个函数 . 课堂检测 · 素养达标 1. 对于函数 f:A→B, 若 a∈A,b∈A, 则下列说法错误的是 ( 　　 ) A.f(a)∈B B.f(a) 有且只有一个 C. 若 f(a)=f(b), 则 a=b D. 若 a=b, 则 f(a)=f(b) 【 解析 】 选 C. 对于函数 f:A→B,a∈A,b∈A, 则根据函数的定义 ,f(a)∈B, 且 f(a) 唯一 , 故若 a=b, 则 a,b 代表集合 A 中同一个元素 , 这时 , 有 f(a)=f(b), 故 B,D 都对 . 但若 f(a)=f(b), 则不一定有 a=b, 如 f(x)=x 2 , 显然 f(-1)=f(1)=1, 但 -1≠1, 故 C 错误 . 2. 函数 y=f(x) 的图象与直线 x=2 020 的公共点有 ( 　　 ) A.0 个 B.1 个 C.0 个或 1 个 D. 以上答案都不对 【 解析 】 选 C. 由函数的概念 :“ 对集合 A 中的任意一个自变量的值 , 在集合 B 中有唯一确定的值与之对应”可知 , 直线 x=2 020 与函数 y=f(x) 的图象有且只有一个公共点或没有公共点 . 3. 若函数 y=x 2 -3x 的定义域为 {-1,0,2,3}, 则其值域为 ________ .  【 解析 】 依题意 , 当 x=-1 时 ,y=4; 当 x=0 时 ,y=0; 当 x=2 时 ,y=-2; 当 x=3 时 ,y=0, 所以函数 y=x 2 -3x 的值域为 {-2,0,4}. 答案 : {-2,0,4} 4. 下列对应关系是集合 P 上的函数的是 ________ .  ①P=Z,Q=N * , 对应关系 f: 对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应 ; ②P={-1,1,-2,2},Q={1,4}, 对应关系 f:x→y=x 2 ,x∈P,y∈Q; ③P={ 三角形 },Q={x|x>0}, 对应关系 f: 对 P 中的三角形求面积与集合 Q 中的元素对应 . 【 解析 】 ② 显然正确 , 由于①中的集合 P 中的元素 0 在集合 Q 中没有对应元素 , 并且③中的集合 P 不是数集 , 从而①③不正确 . 答案 : ②