2020高中数学 第三章 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案 新人教A版选修1-1 6页

‎3.2.2　‎基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)‎ 学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ 导数的运算法则 ‎(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和的导数 ‎[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)‎ 差的导数 ‎[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)‎ 积的导数 ‎[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)‎ 商的导数 ′＝(g(x)≠0)‎ ‎(2)常数与函数的积的导数 ‎[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)‎ 思考：根据商的导数的运算法，试求函数y＝的导数．‎ ‎[提示]　y′＝′＝＝－.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝‎2a＋2x. (　　)‎ ‎(2)′＝－(f(x)≠0)． (　　)‎ ‎(3)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在． (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．函数y＝x·ln x的导数是(　　)‎ A．x　　　　B.　 　　　C．ln x＋1　　　　D．ln x＋x C　[y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]‎ ‎3．函数y＝x4＋sin x的导数为(　　)‎ A．y′＝4x3 B．y′＝cos x C．y′＝4x3＋sin x D．y′＝4x3＋cos x D　[y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]‎ ‎4．函数y＝的导数为__________. ‎ ‎【导学号：97792139】‎ 6‎ y′＝－　[y′＝＝－]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 利用导数的运算法则求导数 ‎　求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝＋sin cos ；‎ ‎(2)y＝x＋2；‎ ‎(3)y＝cos xln x；‎ ‎(4)y＝.‎ ‎[解]　(1)y′＝′‎ ‎＝(x－2)′＋′‎ ‎＝－2x－3＋cos x ‎＝－＋cos x.‎ ‎(2)y′＝′‎ ‎＝(x3)′－′－(6x)′＋(2)′‎ ‎＝3x2－3x－6.‎ ‎(3)y′＝(cos xln x)′‎ ‎＝(cos x)′ln x＋cos x(ln x)′‎ ‎＝－sin xln x＋.‎ ‎(4)y′＝′＝ ‎＝＝.‎ ‎[规律方法]　利用导数运算法则的策略 ‎(1)分析待求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．‎ 6‎ ‎(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．‎ ‎(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　)‎ A．－e　　　　　　 B．－1‎ C．1 D．e B　[f′(x)＝‎2f′(1)＋，则f′(1)＝‎2f′(1)＋1，所以f′(1)＝－1.]‎ ‎(2)求下列函数的导数．‎ ‎①y＝x3·ex.②y＝. ‎ ‎【导学号：97792140】‎ ‎[解]　①y′＝(x3·ex)＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′‎ ‎＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．‎ ‎②y′＝′‎ ‎＝ ‎＝＝－.‎ 导数运算法则的应用 ‎　(1)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)‎ A．2 　　　　B. 　　　　C．－ 　　　　D．－2‎ ‎(2)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为__________．‎ ‎[思路探究]　(1)切线与直线ax＋y＋1＝0垂直⇒切线的斜率为.(2)切线与直线2x－y＋1＝0平行⇒切线的斜率为2.‎ ‎[解析]　(1)y′＝′＝＝，‎ 6‎ 则y′|x＝3＝－，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，‎ 故＝－，所以a＝－2，故选D.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋1，得 y′|x＝x0＝ln x0＋1，由题意知ln x0＋1＝2‎ 解得x0＝e，y0＝e，故P(e，e)‎ ‎[答案]　(1)D　(2)(e，e)‎ ‎[规律方法]　关于求导法则的综合应用 ‎(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．‎ ‎(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．‎ 易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝‎2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．‎ ‎[解]　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，‎ 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 令x＝1，得f′(1)＝3＋‎2a＋b，‎ 又因为f′(1)＝‎2a，所以3＋‎2a＋b＝‎2a，解得b＝－3.‎ 令x＝2，得f′(2)＝12＋‎4a＋b.‎ 又因为f′(2)＝－b，‎ 所以12＋‎4a＋b＝－b，解得a＝－.‎ 所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f(1)＝－.‎ 又因为f′(1)＝‎2a＝－3，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.‎ 利用导数求曲线上的点到某直线的距离最值问题 ‎[探究问题]‎ 若曲线C上存在一点P到直线l的距离最短，则曲线C在点P处的切线和直线l有怎样的关系？‎ 6‎ 提示：平行 ‎　设点P是曲线y＝ex＋1上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最小距离．‎ ‎[思路探究]　与直线y＝x－1平行且与曲线y＝ex＋1相切的切线上的切点即为所求．‎ ‎[解]　设与直线y＝x－1平行的直线与曲线y＝ex＋1相切于点P(x0，y0)，‎ 由y′＝ex得y′|x＝x0＝ex0，由题意知ex0＝1，‎ 解得x0＝0，代入y＝ex＋1得y＝2，所以P(0,2)，‎ 故点P到直线y＝x－1的最小距离为 d＝＝.‎ ‎[规律方法]　利用导数解决曲线上的点到某 直线的距离最值问题的解题策略 利用导数可解决与距离、面积相关的最值问题，解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离. ‎ ‎【导学号：97792141】‎ ‎[解]　依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．‎ ‎∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，‎ ‎∴切点坐标为，∴所求的最短距离为 d＝＝.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．下列运算中正确的是(　　)‎ A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′‎ B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′‎ C．′＝ D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x B　[根据导数的运算法则知B正确．]‎ ‎2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为(　　)‎ A．3x2＋3x　　　 B．3x2＋3xln 3＋ 6‎ C．3x2＋3xln 3 D．x3＋3xln 3‎ C　[f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x2＋3xln 3，故选C.]‎ ‎3．函数f(x)＝xex的导函数f′(x)＝__________.‎ ‎(1＋x)ex　[f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.]‎ ‎4．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.‎ ln 2－1　[设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵y′＝，∴＝，‎ ‎∴x0＝2，∴y0＝ln 2，ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.]‎ ‎5．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，求a，b的值.‎ ‎ 【导学号：97792142】‎ ‎[解]　f′(x)＝2ax－bcos x，则 即解得 6‎