2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8 28页

8 . 5 . 2 　 直线与平面平行 课标阐释 思维脉络 1 . 理解并掌握直线与平面平行的判定定理 . ( 数学抽象 ) 2 . 理解并掌握直线与平面平行的性质定理 . ( 数学抽象 ) 3 . 会证明直线与平面平行的判定定理和性质定理 . ( 逻辑推理 ) 4 . 能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题 . ( 逻辑推理、直观想象 ) 激趣诱思 知识点拨 在我们教室里 , 一般地 , 日光灯所在的直线与地面是平行的 ; 将一本书平放在桌面上 , 翻动书的硬皮封面 , 则封面的外边缘所在直线与桌面是平行的 ; 我们还注意到门的两边是平行的 , 当门绕着一边转动时 , 另一边始终与门框所在的平面是平行的 . 这些生活中的实例都给我们直线与平面平行的印象 . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、直线与平面平行的判定 定理 文字语言 如果 平面外 一条直线与此平面内的一条直线 平行 , 那么该直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a ⊄ α ,b ⊂ α , 且 a ∥ b ⇒ a ∥ α 作 　 用 证明直线与平面 平行 名师点析 (1) 线面平行的判定定理包含三个条件 : ① 平面外一条直线 ; ② 平面内一条直线 ; ③ 两条直线平行 . 这三个条件缺一不可 . (2) 定理充分体现了等价转化思想 , 它将线面平行问题转化为线线平行问题 , 即线线平行 ⇒ 线面平行 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 如果直线 a 与平面 α 内的一条直线 b 平行 , 直线 a 与平面 α 一定平行吗 ? 提示 : 不一定 , 直线 a 可能在平面 α 内 . 微练习 能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是 ( 　　 ) A. b ⊂ α , a ∥ b B. b ⊂ α , c ∥ α , a ∥ b , a ∥ c C. b ⊂ α , A , B ∈ a , C , D ∈ b , 且 AC ∥ BD D. a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 知识点二、直线与平面平行的性质 定理 文字语言 一条直线与一个平面平行 , 如果 过该直线 的平面与此平面相交 , 那么该直线与交线 平行 图形 语言 符号 语言 a ∥ α ,a ⊂ β , α ∩ β =b ⇒ a ∥ b 作用 证明两条直线 平行 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1) 定理的条件可理解为有三条 : ① a ∥ α ; ② α ∩ β =b ; ③ a ⊂ β . 这三个条件缺一不可 . (2) 当 a ∥ α 时 , 过 a 的任何平面与 α 的交线都与 a 平行 , 即 a 可以和 α 内的无数条直线平行 , 但不是任意的 . 平面 α 内凡是不与 a 平行的直线 , 都与 a 异面 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 如图 , 在三棱锥 S-ABC 中 , E , F 分别是 SB , SC 上的点 , 且 EF ∥ 平面 ABC , 则 ( 　　 ) A. EF 与 BC 相交 B. EF ∥ BC C. EF 与 BC 异面 D. 以上均有可能 解析 : ∵ 平面 SBC ∩ 平面 ABC=BC , 又 ∵ EF ∥ 平面 ABC , ∴ EF ∥ BC. 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“ √ ” , 错误的画“ ×” . ① 若直线 l ∥ 平面 α , 直线 a ⊂ 平面 α , 则 l ∥ a. ( 　　 ) ② 若直线 l ∥ 平面 α , 则 l 与平面 α 内的任意一条直线都不相交 . ( 　　 ) ③ 若直线 m ∥ 平面 α , n ∥ 平面 α , 则 m ∥ n. ( 　　 ) 答案 : ① × 　 ②√ 　 ③ × 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与平面平行的判定 例 1 如图 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 点 N 在 BD 上 , 点 M 在 B 1 C 上 , 且 CM=DN. 求证 : MN ∥ 平面 AA 1 B 1 B . 分析 ( 方法一 ) 作 ME ∥ BC , 交 BB 1 于点 E , 作 NF ∥ AD , 交 AB 于点 F , 连接 EF , 转化为证明 MN ∥ EF. ( 方法二 ) 连接 CN 并延长交 BA 所在直线于点 P , 连接 B 1 P , 转化为证明 MN ∥ B 1 P. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明 : ( 方法一 ) 如图 ① , 作 ME ∥ BC , 交 BB 1 于点 E , 作 NF ∥ AD , 交 AB 于点 F , 连接 EF , 则 EF ⊂ 平面 AA 1 B 1 B , ∴ ME=NF. 又 ME ∥ BC ∥ AD ∥ NF , ∴ 四边形 MEFN 为平行四边形 . ∴ MN ∥ EF. ∵ MN ⊄ 平面 AA 1 B 1 B , EF ⊂ 平面 AA 1 B 1 B , ∴ MN ∥ 平面 AA 1 B 1 B. ① 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 如图 ② , 连接 CN 并延长交 BA 所在直线于点 P , 连接 B 1 P , 则 B 1 P ⊂ 平面 AA 1 B 1 B. ∵△ NDC ∽△ NBP , ∵ MN ⊄ 平面 AA 1 B 1 B , B 1 P ⊂ 平面 AA 1 B 1 B , ∴ MN ∥ 平面 AA 1 B 1 B. ② 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明 : 线面平行的思路及步骤 证明直线与平面平行 , 可以用定义 , 也可以用判定定理 , 但说明直线与平面没有公共点不是很容易 ( 当然也可用反证法 ), 所以更多的是用判定定理 , 用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 如图 , P 是 ▱ ABCD 所在平面外一点 , E , F 分别为 AB , PD 的中点 , 求证 : AF ∥ 平面 PEC. 证明 : 设 PC 的中点为 G , 连接 EG , FG. ∵ F 为 PD 的中点 , ∴ GF ∥ CD , 且 GF= CD . ∵ AB ∥ CD , AB=CD , E 为 AB 的中点 , ∴ GF ∥ AE , GF=AE , ∴ 四边形 AEGF 为平行四边形 , ∴ EG ∥ AF. 又 ∵ AF ⊄ 平面 PEC , EG ⊂ 平面 PEC , ∴ AF ∥ 平面 PEC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与平面平行性质定理的应用 例 2 如图 , 用平行于四面体 ABCD 的一组对棱 AB , CD 的平面截此四面体 . 求证 : 截面 MNPQ 是平行四边形 . 分析 根据已知 AB ∥ 平面 MNPQ , CD ∥ 平面 MNPQ , 根据线面平行的性质定理 , 找出经过直线的平面与平面 MNPQ 的交线 , 转化为线线平行即可得证 . 证明 : 因为 AB ∥ 平面 MNPQ , 平面 ABC ∩ 平面 MNPQ=MN , 且 AB ⊂ 平面 ABC , 所以由线面平行的性质定理 , 知 AB ∥ MN. 同理 , AB ∥ PQ , 所以 MN ∥ PQ. 同理可得 MQ ∥ NP. 所以截面 MNPQ 是平行四边形 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 利用线面平行的性质定理解题的 步骤 2 . 运用线面平行的性质定理时 , 应先确定线面平行 , 再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线 , 然后确定线线平行 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 2 若本例中添加条件 : AB ⊥ CD , AB= 10, CD= 8, 且 BP ∶ PD= 1 ∶ 1, 求四边形 MNPQ 的面积 . 解 : 由例 2 知 , 四边形 MNPQ 是平行四边形 , ∵ AB ⊥ CD , ∴ PQ ⊥ QM , ∴ 四边形 MNPQ 是矩形 . ∵ BP ∶ PD= 1 ∶ 1, ∴ PQ= 5, QM= 4, ∴ 四边形 MNPQ 的面积为 5 × 4 = 20 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 线面平行性质定理与判定定理的综合应用 例 3 求证 : 如果一条直线和两个相交平面都平行 , 那么该直线与相交平面的交线平行 . 分析 先写出已知求证 , 再借助线面平行的性质定理与判定定理求解 . 解 : 已知 : a , l 是直线 , α , β 是平面 . a ∥ α , a ∥ β , 且 α ∩ β =l. 求证 : a ∥ l . 证明 : 如图 , 在平面 α 内任取一点 A , 且使 A ∉ l. ∵ a ∥ α , ∴ A ∉ a. 故点 A 和直线 a 确定一个平面 γ , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 设 γ ∩ α =m. 同理 , 在平面 β 内任取一点 B , 且使 B ∉ l , 则点 B 和直线 a 确定平面 δ , 设 δ ∩ β =n. ∵ a ∥ α , a ⊂ γ , γ ∩ α =m , ∴ a ∥ m. 同理 a ∥ n , 则 m ∥ n. 又 m ⊄ β , n ⊂ β , ∴ m ∥ β . ∵ m ⊂ α , α ∩ β =l , ∴ m ∥ l. 又 a ∥ m , ∴ a ∥ l. 反思感悟 利用线面平行的判定定理和性质定理 , 可以完成线线平行与线面平行的相互转化 , 转化思想是一种重要数学思想 . 该转化过程可概括为 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若本例中条件改为 “ α ∩ β =l , γ ∩ β =m , γ ∩ α =n , 且 l ∥ m ”, 试判断直线 l , m , n 的位置关系 , 并说明你的理由 . 解 : 三条直线 l , m , n 相互平行 . 证明如下 , 如图 , ∵ l ∥ m , m ⊂ γ , l ⊄ γ , ∴ l ∥ γ . 又 l ⊂ α , α ∩ γ =n , ∴ l ∥ n. 又 l ∥ m , ∴ m ∥ n , 即直线 l , m , n 相互平行 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在线面平行中的应用 典例 已知 BC ∥ 平面 α , D 在线段 BC 上 , A ∉ α , 直线 AB , AC , AD 分别交 α 于点 E , G , F , 且 BC=a , AD=b , DF=c , 求 EG 的长 . 解 : (1) 当 BC 位于点 A 与平面 α 之间时 , ① 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ② ③ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 本题中点 A 的位置有三种情况 : ① BC 在点 A 与平面 α 之间 ; ② 点 A 在 BC 与平面 α 之间 ; ③ 平面 α 在点 A 与 BC 之间 . 解题时容易只考虑其中一种情形而漏解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 平面 α 与 △ ABC 的两边 AB , AC 分别交于点 D , E , 且 AD ∶ DB=AE ∶ EC , 如图所示 , 则 BC 与 α 的位置关系是 ( 　　 ) A. 平行 B . 相交 C . 异面 D .BC ⊂ α 解析 : 在 △ ABC 中 , ∵ AD ∶ DB=AE ∶ EC , ∴ BC ∥ DE. ∵ BC ⊄ α , DE ⊂ α , ∴ BC ∥ α . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 如图所示 , 过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的棱 BB 1 作一平面交平面 CDD 1 C 1 于 EE 1 , 则 BB 1 与 EE 1 的位置关系是 ( 　　 ) A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 不确定 解析 : ∵ BB 1 ∥ CC 1 , BB 1 ⊄ 平面 CDD 1 C 1 , CC 1 ⊂ 平面 CDD 1 C 1 , ∴ BB 1 ∥ 平面 CDD 1 C 1 . 又 BB 1 ⊂ 平面 BEE 1 B 1 , 平面 BEE 1 B 1 ∩ 平面 CDD 1 C 1 =EE 1 , ∴ BB 1 ∥ EE 1 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 如图 , 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 与 BC 平行的平面是 　　　　　　　　 ; 与 BC 1 平行的平面是 　　　　　　 ; 与平面 A 1 B 1 C 1 D 1 和平面 A 1 B 1 BA 都平行的棱是 　　　　　　 .  解析 : 观察题图 , 根据判定定理可知 , 与 BC 平行的平面是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 与平面 ADD 1 A 1 ; 与 BC 1 平行的平面是平面 ADD 1 A 1 ; 因为平面 A 1 B 1 C 1 D 1 与平面 A 1 B 1 BA 的交线是 A 1 B 1 , 所以与其都平行的棱是 DC. 答案 : 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 与平面 ADD 1 A 1 　 平面 ADD 1 A 1 　 DC 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 如图所示 , 在空间四边形 ABCD 中 , AC , BD 为其对角线 , E , F , G , H 分别为 AC , BC , BD , AD 上的点 , 若四边形 EFGH 为平行四边形 , 求证 : AB ∥ 平面 EFGH. 证明 : ∵ 四边形 EFGH 为平行四边形 , ∴ EF ∥ GH. ∵ GH ⊂ 平面 ABD , EF ⊄ 平面 ABD , ∴ EF ∥ 平面 ABD. ∵ EF ⊂ 平面 ABC , 平面 ABC ∩ 平面 ABD=AB , ∴ EF ∥ AB. ∵ AB ⊄ 平面 EFGH , EF ⊂ 平面 EFGH , ∴ AB ∥ 平面 EFGH.