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- 2021-06-11 发布
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[练案58]第九讲 圆锥曲线的综合问题
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系
A组基础巩固
一、单选题
1.(2019·河南豫东联考)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆的方程为( A )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
[解析] 依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1.又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1,故选A.
2.(2019·山东聊城二模,6)已知直线l与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,若线段AB的中点为(2,1),则直线l的方程为( D )
A.y=x-1 B.y=-2x+5
C.y-x+3 D.y=2x-3
[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有①-②得y-y=4(x1-x2),由题可知x1≠x2,∴===2,即kAB=2,∴直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故选D.
3.(2020·石家庄质检)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点,若点A平分线段F1B,则该双曲线的离心率是( B )
A. B.2+
C.2 D.+1
[解析] 由题意可知A是F1B的中点,O是F1F2的中点(O为坐标原点),连接BF2,则OA是△F1BF2的中位线,故OA∥BF2,故F1F2⊥BF2,又∠BF1F2=60°,|F1F2|=2c,∴|BF1|=4c,|BF2|=2c,∴2a=4c-2c,∴e==2+,故选B.
4.(2019·广东深圳调研)设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点A,B分别为椭圆C的右顶点和下顶点,且点F1关于直线AB的对称点为M.若MF2⊥F1F2,则椭圆C
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的离心率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 设M(c,y0),则MF1的中点为N(0,),即N在y轴上,N又在直线AB上,即点N与B重合,AB⊥BF1⇒kABkBF1=-1⇒·(-)=-1.故⇒b2=ac⇒a2-c2=ac⇒e2+e-1=0,∴e=,选C.
5.(2020·榆林调研)已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点M(1,m),点M到抛物线焦点的距离为3,则双曲线的离心率等于( A )
A.3 B.4
C. D.2
[解析] 点M到抛物线焦点的距离为+1=3⇒p=4,∴抛物线方程为y2=8x,∴m2=8.双曲线的渐近线方程为y=±x,两边平方得y2=(±)2x2,把M(1,m)代入上式得8=()2,∴双曲线的离心率e==3.
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,则|AB|=( A )
A.6 B.8
C.12 D.16
[解析] 由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),易知当直线AB垂直于x轴时,△AOB的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|=,所以△AOB的面积为×1×=,解得k=±,所以|AB|=|y1-y2|=6,故选A.
7.(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C1:+y2=1与双曲线C2:-=1的离心率之积为1,则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为( C )
A.,- B.,-
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C., D.,
[解析] 椭圆中:a=2,b=1,所以,c=,离心率为:,设双曲线的离心率为:e,则e×=1,得:e=,双曲线中:e==,即:c2=a2,又c2=a2+b2,所以,a2=a2+b2,得:a=b,双曲线的渐近线为:y=±x=±x,所以,两条渐近线的倾率为:k=±倾斜角分别为,,故选C.
8.(2020·河南省濮阳市模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率为( B )
A.± B.±
C.± D.±1
[解析] 由题意,抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,∴x1+x2=,又由题意x1+x2+2=10,即x1+x2=8,∴=4,解得k=±,故选B.
二、多选题
9.(2020·广西河池期末改编)已知直线l在y轴上的截距为2,且与双曲线x2-=1的渐近线平行,则直线l的方程可以是( AB )
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x+2 D.y=x+2
[解析] 双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±x,∴直线l的方程为y=±x+2.故选AB.
10.若原点O到直线l的距离不大于1,则直线l与下列曲线一定有公共点的是( AC )
A.y=x2-2 B.(x-1)2+y2=1
C.+y2=1 D.x2-y2=1
[解析] 数形结合知选AC.
三、填空题
11.(2019·大同质检)已知抛物线y2=16x的准线过双曲线C:-=1(a>0,b
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>0)的一个焦点,且双曲线的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程是 -=1 .
[解析] ∵抛物线y2=16x的准线x=-4过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点,∴c=4.又双曲线的一条渐近线方程为y=x,可得b=a,又c==4,∴a=2,b=2,∴所求双曲线的标准方程为-=1.
12.(2019·辽宁营口期末)直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于A,B两点,若|AB|=,则k= ± .
[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB经过抛物线y2=4x的焦点,所以|AB|=x1+x2+2=,所以x1+x2=.联立得到k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2==,所以k=±.
13.(2019·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.近期,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为__85__千米.
[解析] 设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米.
由题意知解得2c=85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米.
四、解答题
14.(2017·北京高考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
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[解析] (1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-.
(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),
l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).
直线ON的方程为y=x,点B的坐标为(x1,).
因为y1+-2x1=
=
=
==0,
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
15.(2019·广东惠州三调)已知椭圆E的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上,椭圆的右焦点到直线x-y+2=0的距离是3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,求直线l的方程.
[解析] (1)由题意,知b=1.
因为右焦点(c,0)(c>0)到直线x-y+2=0的距离
d==3,所以c=,所以a==,
因为椭圆E的焦点在x轴上,所以椭圆E的方程为+y2=1.
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(2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=2.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1(k≠0),
联立得消去y得(1+3k2)x2+6kx=0,
因为xA=0,所以xB=-,
则|AB|=,|AB|2=,
令t=1+3k2,t∈(1,+∞),则|AB|2=4[-2()2++1]=-8(-)2+,
所以,当=,即k2=1,亦即k=±1时,
|AB|2取得最大值,即|AB|的最大值为.
综上,|AB|的最大值为,此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
B组能力提升
1.(2018·课标Ⅰ卷)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( B )
A. B.3
C.2 D.4
[解析] 由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=±x,∴∠MOx=30°,∴∠MON=60°,不妨设∠OMN=90°,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,∴|OM|=,则在Rt△OMN中,|MN|=|OM|·tan∠MON=3.故选B.
2.(2019·贵州贵阳适应性考试)双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1,l2,F为其一个焦点,若F关于l1的对称点在l2上,则双曲线的渐近线方程为( D )
A.y=±2x B.y=±3x
C.y=±x D.y=±x
[解析] 设F关于l1的对称点为H,
即l1垂直平分FH,
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∴∠1=∠2,又∠1=∠3,
∴∠1=∠2=∠3=,
∴kl1=,
∴所求渐近线方程为y=±x.故选D.
3.(2020·河南天一大联考)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与圆C′:x2+(y-)2=3交于M,N两点,若|MN|=,则△MNF的面积为( B )
A. B.
C. D.
[解析] 作出图形如下图所示,由题意知|AM|=2.因为点N为圆C′圆周上一点,所以∠ANM=90°,则在Rt△ANM中,由|AM|=2,|MN|=,得|AN|==,∠AMN=45°,所以N(,)代入y2=2px中,解得p=,故△MNF的面积为××=.
4.(2020·安徽1号卷A10联盟联考)设点D为圆E:(x+)2+y2=16上的动点,点F(,0),线段DF的垂直平分线与DE相交于点C.
(1)求证:动点C的轨迹是椭圆,并求出该椭圆的标准方程;
(2)设(1)中椭圆的上顶点为P,经过点Q(2,-1)的直线l与该椭圆交于A,B两点(异于点P),记直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,求k1+k2的值.
[解析] (1)由题意得,|CF|=|CD|,
∴|CE|+|CF|=|CE|+|CD|=|ED|=4>|EF|=2,
∴点C的轨迹是以点E,F为焦点,焦距为2,长轴为4的椭圆.
b===1,
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=2,此时直线l与椭圆相切,不符合题意;
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若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1.
联立,
得(1+4k2)x2-8k(2k+1)x+16k2+16k=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
x1x2=,
∴k1+k2=+
=
=
=2k-
=2k-
=2k-(2k+1)=-1.
5.(2019·高考全国Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
[解析] (1)连接PF1,由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,
故C的离心率e==-1.
另解:由题意知P(,c),
∴+=1,又b2=a2-c2,
∴c4-8a2c2+4a4=0,即e4-8e2+4=0,
∴e2=4±2=(±1)2,又0
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