福建省普通高等学校招生全国统一考试2020届高三模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 25页

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合与的关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（ ）.‎ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由韦恩图确定所求集合为，由交集和补集定义即可求得结果.‎ ‎【详解】由韦恩图可知所求阴影部分为，‎ ‎，集合表示所有的倍数，.‎ 阴影部分所表示的集合的元素个数为个.‎ 故选：.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到根据韦恩图确定所求集合，属于基础题.‎ ‎2.若复数，则实数（ ）.‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算可整理得到，根据实数的定义可知虚部为零，由此可求得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，解得：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎3.下列是函数的对称中心的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令解出后可得函数的对称中心，对应各个选项可得结果.‎ ‎【详解】令，解得：，‎ 的对称中心为，，‎ 当时，，故是的一个对称中心.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求解问题，关键是熟练掌握整体对应的方式，属于基础题.‎ - 25 -‎ ‎4.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年 B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台 C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台 D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%‎ - 25 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计图表中数据依次判断各个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】对于，年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为，高于年的增长率，错误；‎ 对于，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是，故中位数为万台，错误；‎ 对于，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为万台，错误；‎ 对于，从年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为，，，均超过，正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属于基础题.‎ ‎5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取，）‎ A. 16 B. 17 C. 24 D. 25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 25 -‎ ‎【分析】‎ 由折线长度变化规律可知“次构造”后的折线长度为，由此得到，利用运算法则可知，由此计算得到结果.‎ ‎【详解】记初始线段长度为，则“一次构造”后的折线长度为，“二次构造”后的折线长度为，以此类推，“次构造”后的折线长度为，‎ 若得到的折线长度为初始线段长度的倍，则，即，‎ ‎，‎ 即，至少需要次构造.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，若输入的的值为4，则输出的的值为（ ）.‎ - 25 -‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图运行程序，直到不满足时输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，满足，循环；‎ ‎，，，满足，循环；‎ ‎，，，满足，循环；‎ ‎，，，不满足，输出.‎ 故选：.‎ - 25 -‎ ‎【点睛】本题考查根据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.‎ ‎7.已知直线将圆平分，则圆中以点为中点的弦的弦长为（ ）.‎ A. 2 B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线平分圆可知其过圆心，从而求得，根据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定理求得半弦长，进而得到弦长.‎ ‎【详解】直线平分圆，直线过圆的圆心，‎ ‎，解得：，‎ 圆心到点的距离为，‎ 所求弦长为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是熟练掌握圆的性质，即圆心与弦中点连线垂直于弦.‎ ‎8.关于函数，，有下列三个结论：①为偶函数；②有3个零点；③在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）.‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇偶性定义可知①正确；令可求得零点，知②正确；根据导函数恒正可确定③正确.‎ ‎【详解】，为偶函数，①正确；‎ - 25 -‎ 令，则或，‎ 当时，或或，‎ 的零点为或或，共个，②正确；‎ ‎，‎ 当时，，，，‎ 在上单调递增，③正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查函数性质与零点的相关知识，涉及到奇偶性和单调性的判断、零点的求解等知识；关键是能够熟练掌握奇偶性和函数单调性的判断方法，同时熟悉正弦函数的相关知识.‎ ‎9.已知圆锥的高是底面半径的3倍，且圆锥的底面直径、体积分别与圆柱的底面半径、体积相等，则圆锥与圆柱的侧面积之比为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆锥的底面半径为，可求得圆锥的母线长，根据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而根据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，从而求得比值.‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，圆锥的母线长，‎ 圆锥的侧面积为；‎ 圆柱的底面半径为，高为，‎ 又圆锥的体积，，，‎ 圆柱的侧面积为，‎ - 25 -‎ 圆锥与圆柱的侧面积之比为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于基础题.‎ ‎10.对于集合，定义：为集合相对于的“余弦方差”，则集合相对于的“余弦方差”为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.‎ ‎【详解】由题意可知，集合相对于的“余弦方差”代入公式可得 因为 - 25 -‎ 所以原式，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.‎ ‎11.已知，则满足的实数的取值范围是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 令，可求得，知，分别在和两种情况下解不等式求得结果.‎ ‎【详解】令，则，，，‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：；‎ 综上所述：的取值范围为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查根据方程有解求解参数范围问题，关键是能够采用换元法将问题转化为函数不等式的求解问题，进而利用分类讨论构造不等式求得结果.‎ ‎12.在直四棱柱中，底面是边长为4正方形，，垂直于的截面分别与面对角线，，，相交于四个不同的点，，，，则四棱锥体积的最大值为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 25 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形为矩形，设点到平面的距离为，可表示出，根据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于的函数，利用导数可求得所求的最大值.‎ ‎【详解】‎ 四棱柱为直四棱柱，平面，平面 平面平面，平面平面，‎ 由面面平行性质得：，，‎ 又，，四边形为矩形.‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，，，‎ 四棱锥的体积，‎ ‎，当时，，当时，，‎ 当时，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.‎ - 25 -‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.曲线在处的切线斜率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后，代入即可求得结果.‎ ‎【详解】由得：，即在处的切线斜率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线斜率问题，属于基础题.‎ ‎14.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，，，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性运算，涉及到平面向量的加减法运算和数乘运算，考查学生对于平面几何中的向量运算掌握的熟练程度.‎ - 25 -‎ ‎15.已知双曲线的左、右顶点分别为、，点在双曲线上，且直线与直线的斜率之积为1，则双曲线的焦距为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设，利用斜率乘积为和在双曲线上可构造方程组求得，进而得到，求得焦距.‎ ‎【详解】由双曲线方程知：，，‎ 设，则，即，‎ 又，，，双曲线的焦距为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方程求得双曲线标准方程中的未知量.‎ ‎16.已知的内角、、的对边分别为、、，，平分交于点，若，，则的面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由角平分线定理可得，设，则，利用余弦定理表示出和，从而构造方程组求得，代入三角形面积公式即可求得结果.‎ - 25 -‎ ‎【详解】‎ 由角平分线定理得：，即，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ 整理得：…①‎ ‎，整理得：…②，‎ ‎①②联立可解得：，即，，‎ ‎.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用、角平分线定理的应用；关键是能够利用互补角的余弦值互为相反数和余弦定理来构造方程组求得未知量.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ - 25 -‎ ‎17.2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会、阅兵式、群众游行在北京隆重举行，这次阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、装备580余套，是近几次阅兵中规模最大的一次.某机构统计了观看此次阅兵的年龄在30岁至80岁之间的100个观众，按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求的值及这100个人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（2）用分层抽样的方法在年龄为、的人中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人中年龄在的恰有1人的概率.‎ ‎【答案】（1），平均年龄为岁；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率和为可构造方程求得；利用频率分布直方图估计平均数的方法可计算得到平均年龄；‎ ‎（2）根据分层抽样原则可计算得到从抽取人，从抽取人，采用列举法可得到基本事件总数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.‎ ‎【详解】（1），.‎ 平均年龄为（岁）.‎ ‎（2）根据分层抽样原则可知：从中应抽取人，从中应抽取人.‎ 设从抽取的人为，从抽取的人为，‎ 则随机抽取人采访，基本事件有，，，，，，‎ - 25 -‎ ‎，，，，共种，‎ 其中年龄在的恰有人的有，，，，，，共种，‎ 所求概率.‎ ‎【点睛】本题考查根据频率分布直方图求解参数值和估计平均数、分层抽样的应用和古典概型概率问题的求解；求解古典概型概率问题的常用方法是采用列举法列举出所有基本事件总数，并从中找到符合题意的基本事件个数，进而根据概率公式求得结果.‎ ‎18.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求证：是等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用和已知等式可得，经验证时依然成立，从而证得数列为等比数列；‎ ‎（2）由等比数列通项公式可求得，进而得到；得到通项公式后，采用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1），当时，，‎ 两式作差得：，即，，‎ 当时，，即，，‎ 满足，‎ - 25 -‎ 又，数列是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明、分组求和法求解数列的前项和的问题，涉及到与关系的应用、利用递推关系式证明数列为等比数列、等比数列求和公式等知识，属于常考题型.‎ ‎19.在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是的中点，，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由勾股定理和线面垂直性质可得，，由线面垂直判定定理可证得结论；‎ - 25 -‎ ‎（2）利用体积桥的方式，首先求得三棱锥的体积，进而根据可求得所求的距离.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 平面，平面，，‎ ‎，平面，平面.‎ ‎（2）平面，平面，，‎ 四边形为直角梯形，，点到平面的距离等于，‎ 又为中点，，‎ 由（1）知：平面，又平面，，‎ ‎，，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，解得：，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、点到面的距离的求解问题；求解点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥的高的求解问题.‎ ‎20.已知直线与椭圆交于不同的两点，.‎ ‎（1）若线段的中点为，求直线的方程；‎ ‎（2）若的斜率为，且过椭圆的左焦点，的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 25 -‎ ‎（1）利用点差法可求得直线的斜率，进而求得直线的方程；‎ ‎（2）设，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出中点坐标；当时，易求得的值；当时，可得垂直平分线方程，进而求得点坐标和，利用弦长公式求得，进而求得的值；综合两种情况可知为定值.‎ ‎【详解】（1）设，，‎ 则，两式作差得：，‎ 中点为，，，‎ 直线的方程为：，即：.‎ ‎（2）由椭圆方程知：，可设直线的方程：，‎ 联立得：，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 当时，，，；‎ 当时，的垂直平分线方程为：，‎ - 25 -‎ 令得：，，，‎ ‎，‎ ‎；‎ 综上所述：为定值.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解；求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示出所求值，通过化简消元得到定值.‎ ‎21.已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当（为自然对数的底数），时，若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别在和两种情况下，根据的正负确定的单调性；‎ ‎（2）将问题转化为当时，与有两个不同交点的问题，通过导数可求得的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定的范围.‎ - 25 -‎ ‎【详解】（1）由题意得：定义域为，，‎ 当时，，则在上单调递减；‎ 当时，令，解得：，‎ 当时，；当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）当时，有两个不等实根，方程可化为，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 当时，，即<0在上单调递减，‎ ‎，且 在上有且仅有一个零点，‎ 当时，，即；当时，，即，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，，‎ 由此可得图象如下图所示：‎ - 25 -‎ 则当时，方程有两个不等实数根等价于当时，与有两个不同交点，‎ 由图象可知：.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、根据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）射线与曲线交于点（异于原点）、与直线交于点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二倍角公式化简，消去参数后可得曲线 - 25 -‎ 的普通方程；利用两角和差正弦公式化简，根据极坐标与直角坐标互化原则可得直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）将曲线化为极坐标方程的形式，将分别代入曲线和直线的极坐标方程，可求得，由可求得结果.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 即曲线的普通方程为：；‎ 由得：‎ ‎，‎ 直线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）由可得曲线的极坐标方程为，‎ 当时，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、利用极坐标求解线段长度的问题；关键是能够熟练应用极径的定义，将所求线段长度转化为极径之差的求解问题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值集合.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法可进行分类讨论得到不等式组，解不等式组可求得结果；‎ - 25 -‎ ‎（2）将问题转化为当时，恒成立问题的求解，去掉绝对值符号后得到，根据恒成立思想可知，结合可求得结果.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 由得：；由得：；由得：，‎ 综上所述：的解集为.‎ ‎（2）由题意可知：当时，恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎，，当时，，，，‎ ‎，在上恒成立，‎ ‎，又，可解得：，‎ 的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系求解问题.‎ - 25 -‎ - 25 -‎