辽宁省大连市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2020年大连市高三第一次模拟考试 数学（文科）‎ 本试卷共6页，考试结束后，将答题卡交回.‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带，刮纸刀.‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷笫22题~第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，则集合为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接判断集合有哪些元素在集合中即可.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以集合 故选：B - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.已知复数z满足，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设 ，由 ， ，故选B.‎ ‎3.下列函数中是偶函数，且在是增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项：函数是偶函数且函数为增函数；对于选项：函数是偶函数但当时不是增函数；对于选项：函数是偶函数，但当时为减函数；对于选项：函数是奇函数.‎ ‎【详解】对于选项：因为函数中自变量含有绝对值，所以是偶函数，‎ 当时，函数为增函数，故正确；‎ 对于选项：根据函数的图像可知它是一个偶函数，‎ 但当时有增有减，故错误；‎ 对于选项：函数是开口向下的二次函数是偶函数，‎ 但当时为减函数，故错误；‎ 对于选项：函数是奇函数，故错误；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了对函数的奇偶性以及在区间的单调性进行判断，属于较易题.‎ - 23 -‎ ‎4.设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ）‎ A. 14 B. 28 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出.‎ ‎【详解】因为为等差数列的前项和，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式的计算以及等差数列性质的应用，属于较易题.‎ ‎5.PM2．5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2．5日均值在以下空气质量为一级，在空气质量为二级，超过为超标，如图是某地1月1日至10日的PM2．5（单位：）的日均值，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 10天中PM2．5日均值最低的是1月3日 B. 从1日到6日PM2．5日均值逐渐升高 C. 这10天中恰有5天空气质量不超标 D. 这10天中PM2．5日均值的中位数是43‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 根据给的图，列出对应的数据，即可得到.‎ ‎【详解】对于选项：10天中PM2．5日均值最低的是1月1日，故选项不正确；‎ 对于选项：前两天的均值到前三天的均值是减少的，故选项不正确；‎ 对于选项：不超过有8天，故选项不正确；‎ 对于选项：因为这十天的数据从小到大排列后为：‎ ‎30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，可得到它的中位数为43，故选项正确 故选：D ‎【点睛】本题考查了根据折线图像得到数据，解决一些数据有关问题，属于较易题.‎ ‎6.已知抛物线上点（在第一象限）到焦点距离为5，则点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线定义可得到点的横坐标，再代入抛物线方程即可.‎ ‎【详解】设，‎ 因为点到焦点距离为5即,‎ 根据抛物线定义：，‎ 解得：，‎ 代入抛物线方程，‎ 得即 故选：C ‎【点睛】本题考查了利用抛物线定义求抛物线上点的坐标，属于较易题.‎ ‎7.设非零向量，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两边平方化简可得，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ ‎【详解】若，则 所以，即，故必要性成立；‎ 若，则，即，‎ 所以，即，‎ 所以，故充分性成立，‎ 所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，同时考查向量的数量积，属于基础题.‎ ‎8.如图是函数的部分图象，则，的值分别为（ ）‎ A. 1， B. 1， C. 2， D. 2，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像由到是半个周期即，可得到周期，从而可求出 - 23 -‎ 的值，再由最高点代入计算即可.‎ ‎【详解】由题意可得，‎ 即，‎ 解得：，‎ 因为函数图象的最高点为，‎ 所以有：，‎ 即，‎ 解得：，‎ 因为，‎ 所以 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用函数的部分图像求函数的解析式，属于较易题.‎ ‎9.设数列的前项和为．若，，，则值为（ ）‎ A. 363 B. 121 C. 80 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的关系可得，利用构造法可判断出数列是等比数列，从而可求出数列的通项公式，即可求出的值.‎ ‎【详解】因为，‎ - 23 -‎ 所以有：，‎ 即得到数列是以公比为3的等比数列，‎ 所以有：，‎ 即，‎ 当时有 故选：B ‎【点睛】本题考查了与的关系求通项公式，利用构造法求通项公式，属于较难题.‎ ‎10.已知，，，则最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据已知条件，用乘以1，可得，再展开利用基本不等式即可.‎ ‎【详解】因，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当即时等号成立 故选：D ‎【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，巧用了“1”的乘积，属于一般题.‎ ‎11.已知，是两条直线，，，是三个平面，则下列命题正确的是（ ）‎ - 23 -‎ A. 若∥，∥，∥则∥ B. 若，，则∥‎ C. 若，，，则 D. 若∥，∥，则∥‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于选项：当，则或；对于选项：当，则或；对于选项：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知若，，，则；对于选项：当，则或.‎ ‎【详解】对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ 对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ 对于选项：根据线面垂直的判定定理及面面垂直的性质可知选项正确；‎ 对于选项：当，则或，故选项不正确；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了线面之间的平行与垂直关系，考查了学生的逻辑推理能力，属于一般题.‎ ‎12.某人5次上班途中所花的时间（单位:分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据这组数据的平均数为10,方差为2可求得,再求即可.‎ ‎【详解】由题,,即.‎ 又,‎ 即.代入有,解得或 - 23 -‎ ‎.故或.故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了平均数与方程的综合运算,属于基础题.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13.已知，满足约束条件则的最大值为__________．‎ ‎【答案】4；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件画出约束条件的可行域，再平移目标函数直线即可求出目标函数的最大值.‎ ‎【详解】因为，满足约束条件，‎ 所以得到可行域（如图）‎ 当目标直线过时目标函数有最大值4‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划，利用数形结合求目标函数的最值，属于较易题.‎ - 23 -‎ ‎14.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 根据题意知，所以.‎ 双曲线的离心率.‎ 故答案为.‎ 点睛：在双曲线中，‎ ‎（1）离心率为，‎ ‎（2）焦点为，其中；‎ ‎（3）渐近线为：.‎ ‎15.定义在上的函数满足下列两个条件（1）对任意的恒有成立；（2）当时，．则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件把化成，再根据当时，代入即可.‎ ‎【详解】因为对任意的恒有成立，‎ 所以有：，‎ 又因为当时，，‎ - 23 -‎ 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了求抽象函数的函数值，属于较易题.‎ ‎16.已知矩形中，点，，沿对角线折叠成空间四边形，则空间四边形的外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知条件可确定球心为矩形对角线的交点，然后求出球的半径，利用球的表面积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】在中，，‎ 由题意知，球心到四个顶点的距离相等，‎ 所以球心为对角线，的交点，且半径，‎ 所以空间四边形的外接球的表面积.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查空间四边形的外接球，球的表面积计算，同时考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角，，，的对边分别为，，，若，，，求．‎ - 23 -‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）1或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)利用正弦，余弦的二倍角公式对函数进行化简得到：，再利用整体代入法即可求出函数的单调递增区间；‎ ‎(II)由(I)得到的可计算出中角的值，结合条件中的值，利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意可知 ‎，‎ 由，‎ 所以的单调递增区间是．‎ ‎（Ⅱ）由，可得，‎ 由题意知故,或 ‎ 由余弦定理，或 ‎【点睛】本题考查了利用二倍角公式对三角函数进行化简，利用余弦定理求三角形边长的大小，属于较易题.‎ ‎18.某中学高三(3)班有学生50人，现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图，其中数据的分组区间为：，，，，，‎ - 23 -‎ ‎(1)从每周平均体育锻炼时间在的学生中，随机抽取2人进行调查，求这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率；‎ ‎(2)已知全班学生中有40%是女姓，其中恰有3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，若每周平均体育锻炼时间超过4小时称为经常锻炼，问：有没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)；(2)没有90%的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)用列举法求出所有可能的基本事件数，再根据古典概型计算公式求解即可；‎ ‎(2)根据已知条件，求出经常锻炼和不经常锻炼男生、女生的人数，写出列联表，计算，查对临界值，作出判断即可.‎ ‎【详解】(1)由已知，锻炼时间在，中的人数分别是(人)；‎ - 23 -‎ ‎(人)‎ 分别记中2人为，中3人为，则随机抽取2人调查的所有基本事件有如下情况：，共10种，‎ 所以,这2人的每周平均体育锻炼时间都超过2小时的概率.‎ ‎(2)由已知可知，不超过4小时的人数为：人，‎ 又恰有3个女生的每周平均体育锻炼时间不超过4小时，‎ 所以男生有2人每周平均体育锻炼时间不超过4小时，‎ 因此经常锻炼的女生有人，男生有人.‎ 所以列联表为：‎ 男生 女生 小计 经常锻炼 ‎28‎ ‎17‎ ‎45‎ 不经常锻炼 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 小计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 所以，‎ 所以没有90%把握说明，经常锻炼与否与性别有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的面积即为相应的频数，古典概型概率的计算和独立性检验的应用，属于基础题.‎ ‎19.如图所示，三棱柱中，侧面为菱形，，在侧面上的投影恰为的中点，为的中点.‎ - 23 -‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若与平面所成角为，且，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 连结，，由，分别为，中点，可得，再由线面平行的判定定理即可证出；‎ ‎(2)因为平面，所以要求到平面的距离，只要求出到平面的距离即可，利用等体积法由，即可求出答案.‎ ‎【详解】(1)证明：连结，，‎ 因为，分别为，中点，‎ 所以，因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ - 23 -‎ ‎(2)因为平面，所以 因为侧面为菱形，，，‎ 所以是等边三角形，所以，又为的中点，‎ 所以，所以在中，，，‎ 在中，，‎ 在中，,，‎ 所以， ‎ 又，‎ 设到平面的距离为，因为，‎ 所以，即，‎ 所以，又平面，‎ 所以到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，等体积法求点到面的距离，同时考查转化与化归的思想，属于中档题.‎ ‎20.己知过点的曲线的方程为.‎ ‎(1)求曲线的标准方程；‎ ‎(2)己知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，，求最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2)1‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将点的坐标代入曲线的方程可求出的值，再由曲线方程的几何意义即可求出曲线的方程；‎ ‎(2) 设，，设直线的方程为，令即可求出点坐标，再由两点间距离公式即可求出，将直线的方程为与椭圆的方程联立消去，利用根与系数关系求出，，由弦长公式即可求出，进而可求出，令，则，只需求出的最小值即可．‎ ‎【详解】(1)将代入曲线的方程得，‎ 由椭圆定义可知曲线的轨迹为以，为焦点的椭圆，‎ 所以的标准方程为.‎ ‎(2)设，，‎ 由题意知，直线斜率不为0，可设的方程为，‎ 则的方程为，所以，‎ 所以，‎ 将直线与椭圆的方程联立，得 所以，‎ 所以，‎ - 23 -‎ 所以，令，‎ 所以，令，，‎ 因为，所以在上单调递增，‎ 所以，所以，‎ 所以的最大值为1.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系及弦长公式，同时考查函数最值的求法，属于中档题.‎ ‎21.已知函数，曲线在函数零点处的切线方程为.‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)当时，若有成立，求证：.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求，判断其单调性并结合零点存在性定理可求出函数的零点，根据导数的几何意义求出在零点切线的斜率，根据点斜式方程即可求出切线方程，再与比较对应项的系数，即可求出，的值；‎ ‎(2)构造函数，由单调性可知，从而可得，进而可得，再结合，即可证出.‎ ‎【详解】(1)由题意得：因为，定义域为.‎ - 23 -‎ ‎，‎ 因为，所以在上为减函数.‎ 因为，‎ 所以由零点存在定理可知，在上必存在一点使 所以当时，，即在上为增函数，‎ 当时，，即在上为减函数，‎ 所以极大值，故至多有两个零点，‎ 又因为，，故，是的两个零点，‎ 所以由，，‎ 所以两切线方程为：或 所以或 ‎(2)由已知得，‎ 设 ‎，因为，‎ 所以在上为增函数，‎ 因为，‎ 所以当时，，即在上为减函数，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理，在一点处的切线方程，构造函数证明不等式，属于难题.‎ 请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B - 23 -‎ 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求和的直角坐标方程；‎ ‎(2)求上的点到距离的最小值.‎ ‎【答案】(1)；；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程可求得曲线的方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设，为曲线上一点，利用点到直线的距离公式和逆用两角差的余弦公式，即可求出上的点到距离的最小值.‎ ‎【详解】(1)由题设得，化简得 因为直线的极坐标方程为，‎ 所以直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)可设的参数方程为，（为参数，），‎ 设，为曲线上一点，‎ 所以上的点到的距离为 ‎，‎ - 23 -‎ 当时，取得最小值7.‎ 故上的点到的距离的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，普通方程互为参数方程，同时考查点到直线的距离公式及三角函数的最值求法，属于基础题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，，．‎ ‎（Ⅰ）当时，有，求实数的取值范围．‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；‎ ‎(II)由不等式的解集为可求出的值，代入并用表示，再把代入利用基本不等式求出最小值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由题意得：在上恒成立，‎ 在上恒成立．‎ ‎，‎ 又，‎ 当且仅当，即时等号成立．‎ ‎，即．‎ ‎（Ⅱ）令，，‎ 若时，解集为，不合题意；‎ - 23 -‎ 若时，，，又，‎ ‎，综上所述：，‎ ‎，‎ ‎，解得，，‎ ‎，当且仅当，即时等号成立，‎ 此时．当，时，．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.‎ - 23 -‎ - 23 -‎