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  • 2021-06-11 发布

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)

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‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前项和为,且满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前项和.‎ ‎【解析】(1)由题意得:,解得,‎ 故的通项公式为,.‎ ‎(2)由(1)得:,‎ ‎,······①‎ ‎,······②‎ ‎①-②得:,‎ 故.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)若,,求的值.‎ ‎【解析】(1),函数的单调递增区间为:;‎ ‎(2),,,‎ ‎.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是菱形,.交于点.‎ ‎(1)证明:平面⊥平面;‎ ‎(2)若,求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)底面是菱形,,‎ 又,,,平面,‎ 平面,又平面,平面平面.‎ ‎(2)不妨设,则,作于,连结,‎ 由(1)知,平面,故,‎ 则即二面角的平面角,‎ 在中,,,,,‎ ‎.‎ ‎(另解:也可以以为原点建立空间坐标系,并注意,建系过程未说明扣2分.)‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知抛物线上点处的切线方程为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)设和为抛物线上的两个动点,其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设点,由得,求导,‎ 因为直线的斜率为,所以且,解得,‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎(说明:也可将抛物线方程与直线方程联立,由解得)‎ ‎(2)设线段中点,则,,‎ ‎,‎ ‎∴直线的方程为,‎ 即,过定点.‎ 联立,‎ 得,‎ ‎,‎ 设到的距离,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时取等号,‎ 的最大值为.‎ ‎(另解:可以令,,构造函数,求导亦可)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数有两个零点,.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)证明:.‎ ‎【解析】(1),‎ ‎∴,‎ ‎∴在单调递减,在单调递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎∴满足函数有两个零点.‎ ‎(2)令 由(1)知在,,‎ 令,,‎ ‎,‎ 在单调递增,‎ ‎,,‎ 令的零点为,,,‎ ‎,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,所以.‎