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- 2021-06-11 发布
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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【解析】(1)由题意得:,解得,
故的通项公式为,.
(2)由(1)得:,
,······①
,······②
①-②得:,
故.
18.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,,求的值.
【解析】(1),函数的单调递增区间为:;
(2),,,
.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是菱形,.交于点.
(1)证明:平面⊥平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【解析】(1)底面是菱形,,
又,,,平面,
平面,又平面,平面平面.
(2)不妨设,则,作于,连结,
由(1)知,平面,故,
则即二面角的平面角,
在中,,,,,
.
(另解:也可以以为原点建立空间坐标系,并注意,建系过程未说明扣2分.)
20.(本小题满分12分)
已知抛物线上点处的切线方程为.
(1)求抛物线的方程;
(2)设和为抛物线上的两个动点,其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.
【解析】(1)设点,由得,求导,
因为直线的斜率为,所以且,解得,
所以抛物线的方程为.
(说明:也可将抛物线方程与直线方程联立,由解得)
(2)设线段中点,则,,
,
∴直线的方程为,
即,过定点.
联立,
得,
,
设到的距离,
,
当且仅当,即时取等号,
的最大值为.
(另解:可以令,,构造函数,求导亦可)
21.(本小题满分12分)
已知函数有两个零点,.
(1)求实数的取值范围;
(2)证明:.
【解析】(1),
∴,
∴在单调递减,在单调递增,
∴,
∴,,
又,
,
∴满足函数有两个零点.
(2)令
由(1)知在,,
令,,
,
在单调递增,
,,
令的零点为,,,
,,
∴,
∴,,所以.
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