高中数学第二章平面解析几何2-2-4点到直线的距离课件新人教B版选择性必修第一册 26页

2 . 2 . 4 　 点到直线的距离 核心 素养 1 . 会用向量工具推导点到直线的距离公式 . ( 逻辑推理 ) 2 . 掌握点到直线、两条平行直线之间的距离公式 . ( 数学抽象 ) 3 . 能应用两个距离公式解决有关距离问题 . ( 数学运算 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 某人在一片丘陵上开垦了一块田地 , 在丘陵的上方架有一条直的水渠 , 此人想从水渠上选择一个点 , 通过一条管道把水引到田地中的一个点 P 处 , 要想使这个管道的长度理论上最短 , 应该如何设计 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 点到直线的距离 (1) 定义 : 平面内点到直线的距离 , 等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度 . (2) 图示 : 名师点析 (1) 运用此公式时要注意 直线方程必须是一般式 , 若给出其他形式 , 应先化成一般式再用公式 . (2) 当点 P 0 在直线 l 上时 , 点到直线的距离为零 , 公式仍然适用 . 激趣诱思 知识点拨 微 判断 答案 : × 微练习 点 (1, - 1) 到直线 x-y+ 1 = 0 的距离是 ( 　　 ) 答案 : C 微 思考 激趣诱思 知识点拨 2 . 两条平行直线之间的距离 (1) 定义 : 两条平行线之间的距离 , 等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离 . (2) 图示 : (3) 求法 : 可以转化为点到直线的距离 , 也可以直接套用公式 . (4) 公式 : 两条平行直线 l 1 : Ax+By+C 1 = 0 与 l 2 : Ax+By+C 2 = 0 之间的 距 名师 点析 (1) 把直线方程化为直线的一般式方程 ; (2) 两条直线方程中 x , y 的系数必须分别相等 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1) 一条直线被两条平行线所截 , 截得的线段的长为这两条平行线间的距离 . ( 　　 ) (2) 两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离 , 也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 微练习 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 微思考 直线 l 关于点 P 的对称直线 l' 与已知直线 l 的位置关系是怎样的 ? 提示 : 直线 l 关于点 P 的对称直线 l' 与已知直线 l 平行 , 且点 P 到两直线的距离相等 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 点到直线的距离 例 1 (1) 求点 P (2, - 3) 到下列直线的距离 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (2) 已知直线 l 经过点 M ( - 1,2), 且 A (2,3), B ( - 4,5) 两点到直线 l 的距离相等 , 求直线 l 的方程 . 解 : ( 方法一 ) 当过点 M ( - 1,2) 的直线 l 的斜率不存在时 , 直线 l 的方程为 x=- 1, 恰好 A (2,3), B ( - 4,5) 两点到直线 l 的距离相等 , 故 x=- 1 满足题意 ; 当过点 M ( - 1,2) 的直线 l 的斜率存在时 , 设 l 的方程为 y- 2 =k ( x+ 1 ), 即 kx-y+k+ 2 = 0, 由 A (2,3) 与 B ( - 4,5) 两点到直线 l 的距离相等 , 得 即 x+ 3 y- 5 = 0 . 综上所述 , 直线 l 的方程为 x=- 1 或 x+ 3 y- 5 = 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 由题意得 l ∥ AB 或 l 过 AB 的中点 . 当 l ∥ AB 时 , 设直线 AB 的斜率为 k AB , 即 x+ 3 y- 5 = 0 . 当 l 过 AB 的中点 ( - 1,4) 时 , 直线 l 的方程为 x=- 1 . 综上所述 , 直线 l 的方程为 x=- 1 或 x+ 3 y- 5 = 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 (1) 直线方程应为一般式 , 若给出其他形式应化为一般式 . (2) 点 P 在直线 l 上时 , 点到直线的距离为 0, 公式仍然适用 . (3) 直线方程 Ax+By+C= 0, 当 A= 0 或 B= 0 时公式也成立 , 但由于直线是特殊直线 ( 与坐标轴垂直 ), 故也可用数形结合求解 . 2 . 用待定系数法求直线方程时 , 首先考虑斜率不存在是否满足题意 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将本例 (2) 改为 “ 已知直线 l 经过点 M ( - 1,2), 点 A (2,3), B ( - 4,5) 在 l 的同侧且到该直线 l 的距离相等 ”, 则所求 l 的方程为 　　　　　 .   解析 : 将本例 (2) 中的 x=- 1 这一情况舍去即可 , 也就是要舍去两点在直线 l 异侧的情况 . 答案 : x+ 3 y- 5 = 0 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 两条平行直线之间的距离 例 2 (1) 已知两平行直线 l 1 :3 x+ 5 y+ 1 = 0 和 l 2 :6 x+ 10 y+ 5 = 0, 则 l 1 与 l 2 间的距离为 　　　　　 .   (2) 直线 3 x+y- 3 = 0 和直线 6 x+my- 1 = 0 平行 , 则它们之间的距离为 　　　　　 .   (3) 已知直线 l 与两直线 l 1 :2 x-y+ 3 = 0 和 l 2 :2 x-y- 1 = 0 间的距离相等 , 则直线 l 的方程为 　　　　　 .   探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : (1)A 　 (2)B 　 ( 3) x+ 2 y- 3 = 0 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因对斜率的情况考虑不全面而致错 案例 求经过点 P ( - 3,5), 且与原点距离等于 3 的直线 l 的方程 . 错解 : 设所求直线方程为 y- 5 =k ( x+ 3 ), 整理 , 得 kx-y+ 3 k+ 5 = 0 . 错因分析 本题出错的根本原因在于思维不严密 , 求直线的方程时直接设为点斜式 , 没有考虑斜率不存在的情况 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 正解 : 当直线的斜率存在时 , 设所求直线方程为 y- 5 =k ( x+ 3), 整理 , 得 kx-y+ 3 k+ 5 = 0 . 即 8 x+ 15 y- 51 = 0 . 当直线的斜率不存在时 , 直线方程为 x=- 3 也满足题意 . 故满足题意的直线 l 的方程为 8 x+ 15 y- 51 = 0 或 x=- 3 . 防范措施 在根据距离确定直线方程时 , 易忽略直线斜率不存在的情况 , 避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时 , 应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件 , 然后再求解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 点 (1, - 1) 到直线 y= 1 的距离是 ( 　　 ) 答案 : D 答案 : B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 已知点 A ( - 3, - 4), B (6,3) 到直线 l : ax+y+ 1 = 0 的距离相等 , 则实数 a 的值等于 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4 . 直线 3 x- 4 y- 27 = 0 上到点 P (2,1) 距离最近的点的坐标是 　　　　　 .   解析 : 由题意知过点 P 作直线 3 x- 4 y- 27 = 0 的垂线 , 设垂足为 M , 则 |MP| 最小 , 答案 : (5, - 3 ) 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5 . 若直线 l 1 : x+my+ 6 = 0 与 l 2 :( m- 2) x+ 3 y+ 2 m= 0 互相平行 , 则 m 的值为 　　　　　 , 它们之间的距离为 　　　　　 .   解析 : 由 m ( m- 2) - 3 = 0, 解得 m= 3 或 - 1 . 经过验证 , m= 3 时两条直线重合 , 舍去 . ∴ m=- 1 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 6 . 已知直线 l 经过点 P (0,2), 且 A (1,1), B ( - 3,1) 两点到直线 l 的距离相等 , 求直线 l 的方程 . 解 : ( 方法一 ) ∵ 点 A (1,1) 与 B ( - 3,1) 到 y 轴的距离不相等 , ∴ 直线 l 的斜率存在 , 设为 k. 又直线 l 在 y 轴上的截距为 2, 则直线 l 的方程为 y=kx+ 2, 即 kx-y+ 2 = 0 . 由点 A (1,1) 与 B ( - 3,1) 到直线 l 的距离相等 , ∴ 直线 l 的方程是 y= 2 或 x-y+ 2 = 0 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 当直线 l 过线段 AB 的中点时 , A , B 两点到直线 l 的距离相等 . ∵ AB 的中点是 ( - 1,1), 又直线 l 过点 P (0,2), ∴ 直线 l 的方程是 x-y+ 2 = 0 . 当直线 l ∥ AB 时 , A , B 两点到直线 l 的距离相等 . ∵ 直线 AB 的斜率为 0, ∴ 直线 l 的斜率为 0, ∴ 直线 l 的方程为 y= 2 . 综上所述 , 满足条件的直线 l 的方程是 x-y+ 2 = 0 或 y= 2 .