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  • 2021-06-11 发布

2020年高中数学第二章离散型随机变量的均值

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‎2.3.1‎‎ 离散型随机变量的均值 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.若随机变量ξ~B(n,0.6),且E(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为(  )‎ A.2×0.44 B.2×0.45‎ C.3×0.44 D.3×0.64‎ 解析:因为ξ~B(n,0.6),所以E(ξ)=n×0.6,故有0.6n=3,解得n=5.P(ξ=1)=C×0.6×0.44=3×0.44.‎ 答案:C ‎2.设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a-b=(  )‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ a b ‎0.1‎ A.0.2 ‎B.0.1‎ C.-0.2 D.0.4‎ 解析:由题意得a+b+0.1+0.1=1,即a+b=0.8,①‎ 又0×0.1+a+2b+3×0.1=1.6,∴a+2b=1.3,②‎ ‎②-①得b=0.5,∴a=0.3,∴a-b=0.3-0.5=-0.2.‎ 答案:C ‎3.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,则所得点数ξ的数学期望为(  )‎ A.0.6 B.1‎ C.3.5 D.2‎ 解析:抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以,E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=(1+2+3+4+5+6)×=3.5.‎ 答案:C ‎4.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达的台数为ξ,则E(ξ)等于(  )‎ A.0.765 B.1.75‎ C.1.765 D.0.22‎ 解析:ξ可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765,所以E(ξ 7‎ ‎)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.‎ 答案:B ‎5.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是(  )‎ A. 6 B.7.8‎ C.9 D.12‎ 解析:设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6.P(X=12)==,P(X=9)==,P(X=6)==,故E(X)=7.8.‎ 答案:B ‎6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:‎ ξ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为________.‎ 解析:由,‎ 解得y=0.4.‎ 答案:0.4‎ ‎7.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________.‎ 解析:设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.‎ 答案:48‎ ‎8.已知随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ x ‎0.1‎ 则x=______,P(1≤ξ<3)=______,E(ξ)=______.‎ 解析:x=1-(0.1+0.2+0.3+0.1)=0.3,‎ P(1≤ξ<3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.2+0.3=0.5,‎ E(ξ)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.1=2.1.‎ 答案:0.3 0.5 2.1‎ 7‎ ‎9.(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;‎ ‎(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?‎ 解析:(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11.‎ 记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4);‎ 记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4).‎ 由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4,‎ 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22.‎ P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04;‎ P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16;‎ P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)·P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24;‎ P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.24;‎ P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2;‎ P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08;‎ P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)∵P(x≤n)≥0.5,‎ ‎∴0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5,‎ 则n的最小值为19.‎ 7‎ ‎(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,‎ 当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.2+1 000×0.08+1 500×0.04=4 040,‎ 当n=20时,费用的期望为20×200+500×0.08+1 000×0.04=4 080,‎ 所以应选用n=19.‎ ‎10.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白棕5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率;‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.‎ 解析:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)==,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==.‎ 综上知,X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)=0×+1×+2×=(个).‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.设ξ为离散型随机变量,则E(E(ξ)-ξ)=(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.不确定 解析:∵E(ξ)是常数,∴E(E(ξ)-ξ)=E(ξ)-E(ξ)=0.‎ 答案:A ‎2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为(  )‎ A.2.44 B.3.376‎ C.2.376 D.2.4‎ 解析:记命中后剩余子弹数为ξ,则ξ可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=0.44‎ 7‎ ‎+0.43×0.6=0.064,‎ P(ξ=1)=0. 42×0.6=0.096,‎ P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24,‎ P(ξ=3)=0.6.‎ ‎∴E(ξ)=0×0.064+0.096×1+0.24×2+0.6×3=2.376.‎ 答案:C ‎3.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ=x)‎ ‎?‎ ‎!‎ ‎?‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________.‎ 解析:令“?”为a,“!”为b,则‎2a+b=1.‎ ‎∴E(ξ)=a+2b+‎3a=2(‎2a+b)=2.‎ 答案:2‎ ‎4.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=________.‎ 解析:因为P(X=0)==(1-p)2×,‎ 所以p=.随机变量X的可能值为0,1,2,3.‎ P(X=1)=×()2+×()2=,‎ P(X=2)=×()2×2+×()2=,‎ P(X=3)=×()2=,‎ 所以E(X)=1×+2×+3×=.‎ 答案: ‎5.某城市出租汽车的起步价为6元,行驶路程不超出‎3 km 时按起步价收费,若行驶路程超出‎3 km,则按每超出‎1 km加收3元计费(超出不足‎1 km的部分按‎1 km 7‎ 计).已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位:km),它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12,设出租车行车路程ξ是一个随机变量,司机收费为η(元),则η=3ξ-3,求出租车行驶一天收费的均值.‎ 解析:E(η)=E(3ξ-3)=3E(ξ)-3‎ ‎=3×(200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12)-3‎ ‎=3×250-3=747(元).‎ 即出租车行驶一天收费的均值为747元.‎ ‎6.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).‎ 解析:(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”.‎ 则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)=P(A‎1A2)+P(B‎1A2A3)+P(A1B‎2A3A4)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎=2+×2+××2=.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X=2)=P(A‎1A2)+P(B1B2)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,‎ P(X=3)=P(B‎1A2A3)+P(A1B2B3)‎ ‎=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,‎ P(X=4)=P(A1B‎2A3A4)+P(B‎1A2B3B4)‎ ‎=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,‎ P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P 7‎ E(X)=2×+3×+4×+5×=.‎ 7‎