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- 2021-06-11 发布
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2.3.1 离散型随机变量的均值
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1.若随机变量ξ~B(n,0.6),且E(ξ)=3,则P(ξ=1)的值为( )
A.2×0.44 B.2×0.45
C.3×0.44 D.3×0.64
解析:因为ξ~B(n,0.6),所以E(ξ)=n×0.6,故有0.6n=3,解得n=5.P(ξ=1)=C×0.6×0.44=3×0.44.
答案:C
2.设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a-b=( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A.0.2 B.0.1
C.-0.2 D.0.4
解析:由题意得a+b+0.1+0.1=1,即a+b=0.8,①
又0×0.1+a+2b+3×0.1=1.6,∴a+2b=1.3,②
②-①得b=0.5,∴a=0.3,∴a-b=0.3-0.5=-0.2.
答案:C
3.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,则所得点数ξ的数学期望为( )
A.0.6 B.1
C.3.5 D.2
解析:抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以,E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=(1+2+3+4+5+6)×=3.5.
答案:C
4.今有两台独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达的台数为ξ,则E(ξ)等于( )
A.0.765 B.1.75
C.1.765 D.0.22
解析:ξ可能的取值为0,1,2,P(ξ=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015,P(ξ=1)=0.9×(1-0.85)+0.85×(1-0.9)=0.22,P(ξ=2)=0.9×0.85=0.765,所以E(ξ
7
)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.
答案:B
5.现有10张奖券,8张2元的、2张5元的,某人从中随机抽取3张,则此人得奖金额的数学期望是( )
A. 6 B.7.8
C.9 D.12
解析:设此人的得奖金额为X,则X的所有可能取值为12,9,6.P(X=12)==,P(X=9)==,P(X=6)==,故E(X)=7.8.
答案:B
6.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)=8.9,则y的值为________.
解析:由,
解得y=0.4.
答案:0.4
7.某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________.
解析:设小王选对的个数为X,得分为Y=5X,则X~B(12,0.8),E(X)=np=12×0.8=9.6,E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.
答案:48
8.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
x
0.1
则x=______,P(1≤ξ<3)=______,E(ξ)=______.
解析:x=1-(0.1+0.2+0.3+0.1)=0.3,
P(1≤ξ<3)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=0.2+0.3=0.5,
E(ξ)=0×0.1+1×0.2+2×0.3+3×0.3+4×0.1=2.1.
答案:0.3 0.5 2.1
7
9.(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
解析:(1)每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11.
记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4);
记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4).
由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2,P(A2)=P(B2)=0.4,
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22.
P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16;
P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)·P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24;
P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.2+0.2×0.4+0.2×0.2=0.24;
P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2;
P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04.
∴X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)∵P(x≤n)≥0.5,
∴0.04+0.16+0.24<0.5,0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5,
则n的最小值为19.
7
(3)购买零件所需费用含两部分,一部分为购买机器时购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用,
当n=19时,费用的期望为19×200+500×0.2+1 000×0.08+1 500×0.04=4 040,
当n=20时,费用的期望为20×200+500×0.08+1 000×0.04=4 080,
所以应选用n=19.
10.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白棕5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
(1)求三种粽子各取到1个的概率;
(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
解析:(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.
(2)X的所有可能值为0,1,2,且
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
综上知,X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)=0×+1×+2×=(个).
[B组 能力提升]
1.设ξ为离散型随机变量,则E(E(ξ)-ξ)=( )
A.0 B.1
C.2 D.不确定
解析:∵E(ξ)是常数,∴E(E(ξ)-ξ)=E(ξ)-E(ξ)=0.
答案:A
2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4发子弹,则命中后剩余子弹数目的均值为( )
A.2.44 B.3.376
C.2.376 D.2.4
解析:记命中后剩余子弹数为ξ,则ξ可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=0.44
7
+0.43×0.6=0.064,
P(ξ=1)=0. 42×0.6=0.096,
P(ξ=2)=0.4×0.6=0.24,
P(ξ=3)=0.6.
∴E(ξ)=0×0.064+0.096×1+0.24×2+0.6×3=2.376.
答案:C
3.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:
x
1
2
3
P(ξ=x)
?
!
?
请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=________.
解析:令“?”为a,“!”为b,则2a+b=1.
∴E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2.
答案:2
4.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数,若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=________.
解析:因为P(X=0)==(1-p)2×,
所以p=.随机变量X的可能值为0,1,2,3.
P(X=1)=×()2+×()2=,
P(X=2)=×()2×2+×()2=,
P(X=3)=×()2=,
所以E(X)=1×+2×+3×=.
答案:
5.某城市出租汽车的起步价为6元,行驶路程不超出3 km 时按起步价收费,若行驶路程超出3 km,则按每超出1 km加收3元计费(超出不足1 km的部分按1 km
7
计).已知出租车一天内行车路程可能为200,220,240,260,280,300(单位:km),它们出现的概率分别为0.12,0.18,0.20,0.20,0.18,0.12,设出租车行车路程ξ是一个随机变量,司机收费为η(元),则η=3ξ-3,求出租车行驶一天收费的均值.
解析:E(η)=E(3ξ-3)=3E(ξ)-3
=3×(200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12)-3
=3×250-3=747(元).
即出租车行驶一天收费的均值为747元.
6.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
解析:(1)用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”.
则P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)·P(B2)P(A3)P(A4)
=2+×2+××2=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)
=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=,
P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)
=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=,
P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)
=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=,
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
故X的分布列为
X
2
3
4
5
P
7
E(X)=2×+3×+4×+5×=.
7
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