高考数学专题复习教案： 离散型随机变量的均值与方差易错点 3页

离散型随机变量的均值与方差易错点 主标题：离散型随机变量的均值与方差易错点 副标题：从考点分析离散型随机变量的均值与方差易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。‎ 关键词：离散型随机变量，均值，方差，易错点 难度：3‎ 重要程度：4‎ 内容：‎ ‎【易错点】‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 ‎(1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．(×)‎ ‎(2)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.(√)‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(√)‎ ‎(4)已知X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为.(√)‎ ‎(5)设等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差为1，若随机变量X等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(X)＝30.(√)‎ ‎[剖析]‎ ‎1．对均值(或数学期望)的理解 ‎(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均，如(1)．‎ ‎(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X ‎)是不变的，它描述X取值的平均状态．‎ ‎(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加，由此可知，求E(X)的关键在于写出随机变量的分布列．‎ ‎2．方差的意义 D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中．在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度，如(5).‎ ‎【典例】 (2015·石家庄调研)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：‎ 降水量X X<300‎ ‎300≤X<700‎ ‎700≤X<900‎ X≥900‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9，求：‎ ‎(1)工程延误天数Y的均值与方差；‎ ‎(2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．‎ ‎[错解]　(1)由条件和概率的加法有：P(X<300)＝0.3，‎ P(300≤X＜700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，‎ P(700≤X＜900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，‎ P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.‎ 所以Y的分布列为：‎ Y ‎0‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；‎ D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.‎ 故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.‎ ‎(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm条件下，工期不超过6天的概率为P＝P(Y＝2)＋P(Y＝6)＝0.4＋0.2＝0.6.‎ ‎[错因]　第(2)问中，在降水量X至少是300 mm的条件下，这一条件说明是在延误工期的条件下，求工期延误不超过6天的概率，错解中没有在这条件下求概率．‎ ‎[正解]　(1)同上述解法．‎ ‎(2)由概率加法， 得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，‎ 又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.‎ 由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝.‎ 故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.‎ ‎[注意]　(1)求某事件概率，首先理解题意，分清概率模型，恰当选择概率计算公式，本题是条件概率，应利用条件概率公式计算．‎ ‎(2)解决均值和方差问题时，认真计算，正确利用均值和方差公式，避免失误．‎