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- 2021-06-11 发布
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M单元 推理与证明
M1 合情推理与演绎推理
图1-3
17.M1[2013·湖北卷] 在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图1-3中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.
(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是________;
(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数,若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S=________(用数值作答).
17.(1)3,1,6 (2)79 [解析] (1)把四边形面积分割,其中四个面积为的三角形,一个面积为1的正方形,故其面积为S=3;四边形内部只有一个格点;边界上有6个格点,故答案为3,6,1.
(2)根据图中的格点三角形和四边形可得1=4b+c,3=a+6b+c,再选顶点为(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)的格点正方形可得4=a+8b+c,由上述三个方程组解得a=1,b=,c=-1,所以S=N+L-1,将已知数据代入得S=71+9-1=79.
16.B7,M1[2013·山东卷] 定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
16.①③④ [解析] ①中,当ab≥1时,∵b>0,∴a≥1,ln+ab=ln ab=bln a=bln+a;当00,∴01时,左边=ln+(ab)=0,右边=ln+a+ln+b=ln a+0=ln a>0,∴②不成立.
③中,当≤1,即a≤b时,左边=0,右边=ln+a-ln+b≤0,左边≥右边,成立;当>1时,左边=ln =ln a-ln b>0,若a>b>1时,右边=ln a-ln b,左边≥
右边成立;若01>b>0,左边=ln =ln a-ln b>ln a,右边=ln a,左边≥右边成立,∴③正确.
④中,若00,左边≤右边;若a+b≥1,ln+(a+b)-ln 2=ln(a+b)-ln 2=ln.
又∵≤a或≤b,a,b至少有1个大于1,
∴ln≤ln a或ln≤ln b,即有ln+(a+b)-ln 2=ln (a+b)-ln 2=ln≤ln+a+ln+b,∴④正确.
13.M1[2013·陕西卷] 观察下列等式
(1+1)=2×1
(2+1)(2+2)=22×1×3
(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5
……
照此规律,第n个等式可为______________.
13.(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
[解析] 结合已知所给定的几项的特点,可知式子左边共n项,且从(n+1)一直到(n+n),右侧第一项为2n,连乘的第一项为1,最后一项为(2n-1),故所求表达式为:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).
M2 直接证明与间接证明
20.M2,D2,D3,D5[2013·北京卷] 给定数列a1,a2,…,an,对i=1,2,…,n-1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n-i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai-Bi.
(1)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值;
(2)设a1,a2,…,an(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…,dn-1是等比数列;
(3)设d1,d2,…,dn-1是公差大于0的等差数列,且d1>0,证明:a1,a2,…,an-1是等差数列.
20.解:(1)d1=2,d2=3,d3=6.
(2)证明:因为a1>0,公比q>1,
所以a1,a2,…,an是递增数列.
因此,对i=1,2,…,n-1,Ai=ai,Bi=ai+1.
于是对i=1,2,…,n-1,
di=Ai-Bi=ai-ai+1=a1(1-q)qi-1.
因此di≠0且=q(i=1,2,…,n-2),
即d1,d2,…,dn-1是等比数列.
(3)证明:设d为d1,d2,…,dn-1的公差.
对1≤i≤n-2,因为Bi≤Bi+1,d>0,所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai.
又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai.
从而a1,a2,…,an-1是递增数列,因此Ai=ai(i=1,2,…,n-1).
又因为B1=A1-d1=a1-d12,d>2,则c+d>4,与已知c+d≤4相矛盾,则假设不成立,故min(a,b)≤2,即c∧d≤2.故选择C.
M3 数学归纳法
M4 单元综合