2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6 34页

第 3 课时　习题课 —— 正弦定理和余弦定理的综合应用 课标阐释 思维脉络 1 . 熟练掌握正弦定理、余弦定理在解决三角形问题中的应用 . ( 数学运算 ) 2 . 熟练掌握利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法 . ( 逻辑推理 ) 3 . 能够运用正弦定理、余弦定理解决三角形综合问题 . ( 数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 在哈尔滨美丽的太阳岛上有一座横跨金水河的桥 —— 太阳桥 . 它是亚洲第一座全钢结构独塔无背索面斜拉桥 , 如图所示 . 为了保证受力的合理 , 设计人员将钢塔设计成与桥面所成的角为 60 度 , 为了测量前倾的塔臂的长度 , 测量人员在上坞休闲度假区堤防处 ( C 点 ) 测得塔顶 ( A 点 ) 的仰角为 82 . 8 度 , 塔底 ( B 点 ) 距离点 C 为 114 米 , 这样能确定塔臂 AB 的长吗 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、正弦定理与余弦定理及其 变形 激趣诱思 知识点拨 微练习 在 △ ABC 中 , 若 a cos A=b sin B , 则 sin A cos A+ cos 2 B= ( 　　 ) C. - 1 D.1 解析 : 由 a cos A=b sin B , 得 sin A cos A= sin 2 B , 所以 sin A cos A+ cos 2 B= sin 2 B+ cos 2 B= 1 . 答案 : D 激趣诱思 知识点拨 知识点二、三角形中有关边和角的常用性质 1 . 三角形内角和定理 : 在 △ ABC 中 , A+B+C= π . 2 . 在 △ ABC 中 , a>b ⇔ A>B ⇔ sin A> sin B . 3 . 在 △ ABC 中 , a+b> c , b+c> a , c+a> b . 微练习 已知锐角三角形的三边长分别为 2,3, x , 则实数 x 的取值范围为 　　　　　　 .  探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例 1 在 △ ABC 中 , a , b , c 分别是角 A , B , C 所对的边 , 若 b sin A= 3 c sin B , a= 3,cos B = , 则 b= ( 　　 ) 分析 先由 b sin A= 3 c sin B 及正弦定理得出边 a , c 的关系 , 从而得到边 a , c 的长度 , 再利用余弦定理求出 b. 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 正弦定理、余弦定理解三角形的求解策略 应用正弦定理、余弦定理解决三角形问题 , 关键是根据已知条件对边和角进行相互转化 , 化简表达式 , 通过代数变形或三角恒等变换解决问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 在 △ ABC 中 ,sin 2 A ≤sin 2 B+ sin 2 C- sin B sin C , 则 A 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 正弦定理、余弦定理与平面向量的 综合 分析 先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边 c , 再利用余弦定理求出边 b , 最后根据正弦定理求角 C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 三角形中恒等式的证明 例 3 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的对应边分别为 a , b , c . 分析 解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边证明 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明 : ( 方法一 ) 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 - 2 bc cos A , b 2 =a 2 +c 2 - 2 ac cos B , 得 a 2 -b 2 =b 2 -a 2 + 2 c ( a cos B-b cos A ), 即 a 2 -b 2 =c ( a cos B-b cos A ), 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 三角形中的最值与范围问题 例 4 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c. 已知 2cos( B-C ) - 1 = 4cos B cos C. (1) 求 cos A 的值 ; (2) 若 a= 3, 求 △ ABC 面积的最大值 . 分析 (1) 将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理 , 化简为关于 cos A 的表达式 , 进而求出 cos A 的值 . (2) 运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : (1) 由已知 , 得 2cos B cos C+ 2sin B sin C- 1 = 4cos B cos C , 所以 2cos B cos C- 2sin B sin C=- 1, 即 2cos( B+C ) =- 1, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角形中最值 ( 范围 ) 问题的求解策略 解决与三角形的面积有关的最值或范围问题时 , 应选取适当的面积公式 , 结合正弦定理、余弦定理及三角恒等变换的知识 , 将问题转化为求函数的最值或范围 , 进而予以解决 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例 (2) 中 , 若条件不变 , 求 △ ABC 的周长的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 一道最值问题的多种解法 典例 如图所示 , 在 △ ABC 中 , AB= 2 AC , AD 是 ∠ BAC 的角平分线 , 且 AD=kAC . (1) 求 k 的取值范围 ; (2) 若 S △ ABC = 1, 问 k 为何值时 , BC 最短 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛 此题的求解过程很好地体现了转化与化归 ( 本章中主要体现在利用正弦定理、余弦定理 “ 化边为角 ”“ 化角为边 ”) 、函数与方程 ( 利用正弦定理、余弦定理解三角形体现的就是方程思想 , 函数思想体现在利用函数知识求最值 ) 、数形结合 ( 将图形关系转化为数量关系再解题 ) 思想 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 已知 △ ABC 的三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且 b cos C+c cos B= 2 a cos A. (1) 求 A ; (2) 若 △ ABC 的周长为 3, 求 a 的最小值 . 解 : (1) 由已知及正弦定理得 sin B cos C+ cos B sin C= 2sin A cos A , 即 sin( B+C ) = 2sin A cos A. ∵ sin( B+C ) = sin( π -A ) = sin A , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测