2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数章末综合提升教学案含解析苏教版必修第一册 5页

第6章 幂函数、指数函数和对数函数 ‎[巩固层·知识整合]‎ ‎[提升层·题型探究]‎ 函数的图象与性质 函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．‎ ‎【例1】　(1)若函数f(x)＝log2的定义域为(－∞，1)，则a＝　　　　．‎ ‎(2)若函数f(x)＝log2在(－∞，1]上有意义，则a的取值范围是　　　　．‎ ‎[思路点拨]　分别将两个问题转化为求定义域问题和恒成立问题，然后求解．‎ ‎(1)－　(2)　[(1)因为x<1，所以0<2x<2．‎ 要使f(x)有意义，则a·4x＋2x＋1>0，令t＝2x，则t∈(0,2)，‎ 由题知y＝at2＋t＋1开口向下，且t＝2是方程at2＋t＋1＝0的根，‎ 所以‎4a＋2＋1＝0，所以a＝－．‎ ‎(2)原问题等价于a·4x＋2x＋1>0，对任意x∈(－∞，1]恒成立．‎ 因为4x>0，所以a>－在(－∞，1]上恒成立．‎ - 5 -‎ 令g(x)＝－，x∈(－∞，1]．‎ 由y＝－与y＝－在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也是增函数，所以g(x)max＝g(1)＝－＝－．‎ 因为a>－在(－∞，1]上恒成立，所以a应大于g(x)的最大值，即a>－．‎ 故所求a的取值范围为．]‎ ‎1．识别函数的图象从以下几个方面入手：‎ ‎(1)单调性：函数图象的变化趋势；‎ ‎(2)奇偶性：函数图象的对称性；‎ ‎(3)特殊点对应的函数值．‎ ‎2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0．‎ ‎1．已知f(x)＝log2 (x＋1)＋log2 (1－x)，‎ ‎(1)求f(x)的定义域，并求f的值；‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性；‎ ‎(3)判断f(x)的单调性．‎ ‎[解]　(1)由题知，解得－11，log0.65.1<0，所以‎5.10.6‎>0．65.1>log0.65.1．‎ ‎(2)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图象：‎ 由底数变化对图象位置的影响知：log712>log812．‎ 法二：＝＝＝log78>1．‎ ‎∵log812>0，∴log712>log812．‎ ‎(3)因为0<<1，所以y＝x在[0，＋∞)上为增函数，所以0.2<0.3，即a1，所以b1，故log 3<<2．‎ ‎(2)∵log3 20(a>0，且a≠1)的解集．‎ ‎[思路点拨]　根据偶函数的性质，将f(loga x)>0转化为loga x与和－的大小关系，然后分类讨论求解不等式．‎ ‎[解]　∵f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，‎ 又f＝0，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，f＝0．‎ 故若f(loga x)>0，则有loga x>或loga x<－．‎ ‎①当a>1时，由loga x>或loga x<－，得x>或0或loga x<－，得0．‎ 综上可知，当a>1时，f(loga x)>0的解集为∪(，＋∞)；当00的解集为(0，)∪．‎ - 5 -‎ 将例题中“偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”改为“奇函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数”应如何解答？‎ ‎[解]　∵f(x)是奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f＝0，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，且f＝0．‎ ‎∴f>0可转化为loga x>或－1时，上述两不等式的解为x>和1时，不等式的解集为 ；‎ 当0