高中数学必修1教案第二章 2_1_2 第2课时指数函数及其性质的应用 9页

第2课时　指数函数及其性质的应用 ‎[学习目标]　1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减．‎ ‎2．复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．函数y＝ax与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称．‎ ‎2．形如y＝af(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质 ‎(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域．‎ ‎(2)当a＞1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．‎ ‎3．形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a＞0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．‎ ‎4．设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．‎ 要点一　利用指数函数的单调性比较大小 例1　比较下列各组数的大小：‎ ‎(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－与0.70.3；‎ ‎(3)0.60.4与0.40.6.‎ 解　(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.‎ ‎(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－≈0.267 9＜0.3，所以0.72－＞0.70.3.‎ ‎(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.‎ 规律方法　1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性 来判断．‎ ‎2．对于幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较．‎ 跟踪演练1　已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案　D 解析　先由函数y＝0.8x判断前两个数的大小，再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小．‎ 要点二　指数型函数的单调性 例2　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．‎ 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.‎ ‎∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，‎ ‎∴y＝在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．‎ ‎∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，‎ ‎∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，‎ ‎∴0＜u≤－1＝3，‎ ‎∴原函数的值域为(0,3]．‎ 规律方法　1.关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．‎ ‎2．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．‎ 跟踪演练2　求函数y＝2的单调区间．‎ 解　函数y＝2的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．‎ 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2在[1，＋∞)上是减函数．‎ 综上，函数y＝2的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．‎ 要点三　指数函数的综合应用 例3　已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)证明f(x)为奇函数．‎ ‎(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明．‎ ‎(3)求f(x)的值域．‎ ‎(1)证明　由题知f(x)的定义域为R，‎ f(－x)＝＝ ‎＝＝－f(x)，‎ 所以f(x)为奇函数．‎ ‎(2)解　f(x)在定义域上是增函数．‎ 证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2， ‎ f(x2)－f(x1)＝－ ‎＝(1－)－(1－)‎ ‎＝.‎ ‎∵x1＜x2，∴3－3＞0,3＋1＞0,3＋1＞0，‎ ‎∴f(x2)＞f(x1)，‎ ‎∴f(x)为R上的增函数．‎ ‎(3)解　f(x)＝＝1－，‎ ‎∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜＜2⇒－2＜－＜0，‎ ‎∴－1＜1－＜1，‎ 即f(x)的值域为(－1,1)．‎ 规律方法　指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可．‎ 跟踪演练3　设a＞0，f(x)＝＋是R上的偶函数．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(1)解　依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，‎ 即＋＝＋aex，‎ ‎∴＝0对一切x∈R成立．‎ 由此得到a－＝0，‎ 即a2＝1.又a＞0，∴a＝1.‎ ‎(2)证明　设0＜x1＜x2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＋－＝(－)·＝(－).‎ ‎∵0＜x1＜x2，∴＞，∴－＞0.‎ 又1－＜0，＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，‎ ‎∴f(x1)