高中数学必修1教案：第四章（第21课时）两倍角的正弦余弦正切（3） 7页

课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）‎ 教学目的：‎ 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用 教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 二倍角公式:‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、讲解新课： ‎ ‎1．积化和差公式的推导 ‎ sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb ‎ ‎ Þ sinacosb =[sin(a + b) + sin(a - b)]‎ sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb ‎ Þ cosasinb =[sin(a + b) - sin(a - b)]‎ cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb ‎ Þ cosacosb =[cos(a + b) + cos(a - b)]‎ cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb ‎ Þ sinasinb = -[cos(a + b) - cos(a - b)]‎ ‎2．和差化积公式的推导 若令a + b = q，a - b = φ，则， 代入得：‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3．半角公式 ‎ 证：1°在 中，以a代2a，代a 即得：‎ ‎ ∴‎ ‎ 2°在 中，以a代2a，代a 即得：‎ ‎ ∴‎ ‎ 3°以上结果相除得：‎ ‎4° ‎ ‎4．万能公式 证：1° ‎ 2° ‎ 3° 三、讲解范例：‎ 例1已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值 ‎ 解：∵ ∴cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 )‎ ‎ ∴ 解之得：tan q = 2‎ ‎ ∴原式 例2已知，，tana =，tanb =，求2a + b ‎ ‎ 解： ∴‎ ‎ 又∵tan2a < 0，tanb < 0 ∴， ‎ ‎ ∴ ∴2a + b = ‎ 例3已知sina - cosa = ，，求和tana的值 ‎ 解：∵sina - cosa = ∴‎ ‎ 化简得： ‎ ‎∴‎ ‎ ∵ ∴ ∴ ‎ 即 ‎ ‎ 例4已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值 解：∵cosa - cos b = ，∴ ①‎ ‎ sina - sin b =，∴ ②‎ ‎ ∵ ∴ ∴‎ ‎ ∴‎ 例5求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a ‎ 证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a ‎ = -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a ‎ = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a ‎ = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1)‎ ‎ = cos2a2cos22a = cos32a = 右边 ‎∴原式得证 四、课堂练习：‎ ‎1已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0‎ 求证：α＋2β＝ 证法1：由已知得3sin2α＝cos2β ① ‎3sin2α＝2sin2β ② ‎①÷②得tanα＝‎ ‎∵α、β为锐角 ‎∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0， ‎∴－＜－2β＜‎ ‎∴α＝－2β，α＋2β＝‎ 证法2：由已知可得： ‎3sin2α＝cos2β ‎3sin2α＝2sin2β ‎∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β ‎＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α ‎＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0 又由α＋2β∈（0，） ‎∴α＋2β＝ ‎①‎ ‎②‎ 证法3：由已知可得 ‎ ‎∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β ‎＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α ‎＝3sinα（sin2α＋cos2α）＝3sinα 又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③ ‎①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1 ‎∴sinα＝，即sin（α＋2β）＝1 又0＜α＋2β＜‎ ‎∴α＋2β＝‎ 评述：一般地，若所求角在（0，π）上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在（－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切 ‎2在△ABC中，sinA是cos（B＋C）与cos（B－C）的等差中项，‎ 试求(1)tanB＋tanC的值(2)证明tanB＝（1＋tanC）·cot（45°＋C）‎ ‎(1)解：△ABC中，sinA＝sin（B＋C）‎ ‎∴2sin（B＋C）＝cos（B＋C）＋cos（B－C） ‎∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC ‎∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1 ‎（2）证明：又由上：tanβ＝1－tanC＝（1＋tanC）· ‎＝（1＋tanC）·tan（45°－C）＝（1＋tanC）·cot（45°＋C） ‎3求值： ‎ 解：原式＝‎ ‎ 五、小结 通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式（不要求记，半角公式和万能公式的方法，要知道它们的互化关系另外，要注意半角公式的推导与正确使用 ‎ 六、课后作业：‎ ‎1如果｜cosθ｜＝，＜θ＜3π,则sin的值等于( )‎ ‎2设5π＜θ＜6π且cos＝a,则sin等于( )‎ ‎3已知tan76°≈4，则tan7°的值约为( )‎ ‎4tan－cot的值等于 ‎ ‎5已知sinA＋cosA＝1，0＜Ａ＜π，则tan＝ ‎ ‎6已知tanα、tanβ是方程7ｘ2－8ｘ＋1＝0的两根，则tan＝ ‎ ‎7设25sin2ｘ＋sinｘ－24＝0且ｘ是第二象限角，求tan ‎8已知cos2θ＝，求sin4θ＋cos4θ的值 ‎9求证 参考答案：1C 2D 3A 4－2 52－ 6－2 ‎ ‎7 8 ‎ ‎9 ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎ ‎