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  • 2021-06-11 发布

高考理科数学复习练习作业86

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题组层级快练(八十六)‎ ‎1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=1,则曲线C的方程为(  )‎ A.25x2+9y2=1    B.9x2+25y2=1‎ C.25x+9y=1 D.+=1‎ 答案 A ‎2.极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为(  )‎ A.(x+)2+y2= B.x2+(y+)2= C.x2+(y-)2= D.(x-)2+y2= 答案 D 解析 由ρ=cosθ,得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x.选D.‎ ‎3.在极坐标系中,极坐标为(2,)的点到极点和极轴的距离分别为(  )‎ A.1,1 B.1,2‎ C.2,1 D.2,2‎ 答案 C 解析 点(ρ,θ)到极点和极轴的距离分别为ρ,ρ|sinθ|,所以点(2,)到极点和极轴的距离分别为2,2sin=1.‎ ‎4.在极坐标系中,点(2,-)到圆ρ=-2cosθ的圆心的距离为(  )‎ A.2 B. C. D. 答案 D 解析 在直角坐标系中,点(2,-)的直角坐标为(1,-),圆ρ=-2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=-2x,即(x+1)2+y2=1,圆心为(-1,0),所以所求距离为=.故选D.‎ ‎5.(2017·皖北协作区联考)在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)=2与圆ρ=4sinθ的交点的极坐标为(  )‎ A.(2,) B.(2,)‎ C.(4,) D.(4,)‎ 答案 A 解析 ρ(cosθ-sinθ)=2可化为直角坐标方程x-y=2,即y=x-2.‎ ρ=4sinθ可化为x2+y2=4y,把y=x-2代入x2+y2=4y,得4x2-8x+12=0,即x2-2x+3=0,所以x=,y=1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(,1),化为极坐标为(2,),故选A.‎ ‎6.在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程是(  )‎ A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2‎ C.ρcosθ=4 D.ρcosθ=-4‎ 答案 B 解析 方法一:圆的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ,所以直角坐标方程为x2+y2-4y=0.‎ 选项A,直线ρsinθ=2的直角坐标方程为y=2,代入圆的方程,得x2=4,∴x=±2,不符合题意;选项B,直线ρcosθ=2的直角坐标方程为x=2,代入圆的方程,得(y-2)2=0,∴y=2,符合题意.同理,以后选项都不符合题意.‎ 方法二:如图,⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,‎ CO⊥Ox,OA为直径,|OA|=4,直线l和圆相切,‎ l交极轴于点B(2,0),点P(ρ,θ)为l上任意一点,‎ 则有cosθ==,得ρcosθ=2.‎ ‎7.在极坐标系中,曲线ρ2-6ρcosθ-2ρsinθ+6=0与极轴交于A,B两点,则A,B两点间的距离等于(  )‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 答案 B 解析 化极坐标方程为直角坐标方程得x2+y2-6x-2y+6=0,易知此曲线是圆心为(3,1),半径为2的圆,如图所示.可计算|AB|=2.‎ ‎8.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心的极坐标是________,它与方程θ=(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________.‎ 答案 (1,0),(,)‎ 解析 ρ=2cosθ表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆,故圆心的极坐标为(1,0).‎ 当θ=时,ρ=,故交点的极坐标为(,).‎ ‎9.在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切,则a=________.‎ 答案 1或-9‎ 解析 圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ,即(x-1)2+y2=1,直线4ρcosθ+3ρsinθ+a=0,即4x+3y+a=0,‎ 已知圆ρ=2cosθ与直线4ρcosθ+3ρsinθ+a=0相切,‎ ‎∴圆心到直线的距离等于半径.‎ 即=1,解得a=1或-9.‎ ‎10.(2015·安徽)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是________.‎ 答案 6‎ 解析 由ρ=8sinθ⇒ρ2=8ρsinθ⇒x2+y2-8y=0,x2+(y-4)2=16,圆心坐标为(0,4),半径r=4.由θ=⇒y=x,则圆心到直线的距离d=2.∴圆上的点到直线距离的最大值为2+4=6.‎ ‎11.(2017·广州综合测试一)在极坐标系中,直线ρ(sinθ-cosθ)=a与曲线ρ=2cosθ-4sinθ相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数a的值为________.‎ 答案 -5或-1‎ 解析 将直线ρ(sinθ-cosθ)=a化为普通方程,得y-x=a,即x-y+a=0,将曲线ρ=2cosθ-4sinθ的方程化为普通方程,得x2+y2=2x-4y,即(x-1)2+(y+2)2=5,圆心坐标为(1,-2),半径长为r=.设圆心到直线AB的距离为d,由勾股定理可得d=‎ eq (r2-(f(|AB|,2))2)==,而d===,所以|a+3|=2,解得a=-5或a=-1.‎ ‎12.(2015·北京)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为________.‎ 答案 1‎ 解析 点(2,)的直角坐标为(1,),直线ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0,所以点(1,)到直线的距离d==1.‎ ‎13.(2016·北京)在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.‎ 答案 2‎ 解析 将直线ρcosθ-ρsinθ-1=0化为直角坐标方程为x-y-1=0,将圆ρ=2cosθ化为直角坐标方程为x2+y2=2x,则圆心坐标(1,0),半径为1,由于圆心(1,0)在直线x-y-1=0上,因此|AB|=2.‎ ‎14.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为(,),半径r=,点P的极坐标为(2,π),过P作直线l交圆C于A,B两点.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)求|PA|·|PB|的值.‎ 答案 (1)(x-1)2+(y-1)2=2 (2)8‎ 解析 (1)圆C的圆心的极坐标C(,),∴x=cos=1,y=sin=1,‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.‎ ‎(2)点P的极坐标为(2,π),化为直角坐标为P(-2,0).‎ 当直线l与圆C相切于点D时,则 ‎|PD|2=|PC|2-r2=(-2-1)2+(0-1)2-()2=8.‎ ‎∴|PA|·|PB|=|PD|2=8.‎ ‎15.(2017·河北唐山三模)在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线C3:ρcos(θ+)=距离的最大值.‎ 答案 (1)ρ=2sinθ(ρ≠0) (2)1+ 解析 (1)设P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有 ρ1sinθ=2,ρρ1=4.‎ 消去ρ1,得曲线C2的极坐标方程为 ρ=2sinθ(ρ≠0).‎ ‎(2)将C2,C3的极坐标方程化为直角坐标方程,得C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2.‎ C2是以点(0,1)为圆心,以1为半径的圆,圆心到直线C3的距离d=,故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1+.‎ ‎16.(2014·辽宁)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 答案 (1)(t为参数) (2)ρ= 解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得 由x12+y12=1得x2+()2=1,即曲线C的方程为x2+=1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=(x-),化为极坐标方程,并整理得 ‎2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.‎ ‎1.在极坐标系中,曲线ρ2-10ρcosθ-2ρsinθ+10=0与极轴交于M、N两点,则|MN|=________.‎ 答案 2 解析 ∵M、N两点在极轴上,‎ ‎∴其极角θ=0°,代入方程中得ρ2-10ρ+10=0,‎ ‎∴(ρ-5)2=15,ρ=5±,‎ 令M、N对应极径为ρM和ρN,则|MN|=|ρM-ρN|=2.‎ ‎2.(2017·河北冀州月考)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为________.‎ 答案  解析 直线的方程为2x=1,圆的方程为x2+y2-2x=0,圆心为(1,0),半径r=1,圆心到直线的距离为d==.设所求的弦长为l,则12=()2+()2,解得l=.‎ ‎3.在极坐标系中,设曲线C1:ρ=2sinθ与C2:ρ=2cosθ的交点分别为A,B,则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________.‎ 答案 ρsinθ+ρcosθ=1(或ρsin(θ+)=)‎ 解析 曲线C1:ρ=2sinθ的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C2:ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,所以AB的方程为-x+y=0.又易知AB的垂直平分线斜率为-1,经过圆C1的圆心(0,1),所以AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0,化为极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1,或化成ρsin(θ+)=.‎ ‎4.(2017·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(ρ>0,0≤θ<2π),曲线C在点(2,)处的切线为l,以极点为坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则l的直角坐标方程为________.‎ 答案 x+y-2=0‎ 解析 根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ=2⇒x2+y2=4,点(2,)⇒(,).因为点(,)在圆x2+y2=4上,故圆在点(,)处的切线方程为x+y=4⇒x+y-2=0,故填x+y-2=0.‎ ‎5.在极坐标系中,直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=2截得的弦长为________.‎ 答案 4 解析 直线ρsin(θ+)=2的直角坐标方程为x+y-2=0,圆ρ=4的直角坐标方程为x2+y2=16.圆心的坐标是(0,0),半径是4,圆心到直线的距离d==2,所以直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长是2=4.‎ ‎6.在极坐标系中,曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρ=4sinθ(<θ<π)交点的极坐标是________.‎ 答案 (2,)‎ 解析 由题意分析可得,曲线C1是圆心为(0,0),半径为2的圆,曲线C1的方程为x2+y2=4.对ρ=4sinθ变形得ρ2=4ρsinθ,所以曲线C2的方程为x2+y2=4y.联立两个方程,解得或又∵<θ<π,∴交点为(-,1),转化为极坐标ρ=2,tanθ=,由题意θ=,所以交点的极坐标为(2,).‎ ‎7.(2014·陕西)在极坐标系中,点(2,)到直线ρsin(θ-)=1的距离是________.‎ 答案 1‎ 解析 ρsin(θ-)=ρ(sinθcos-sincosθ)=1,‎ 因为在极坐标系中,ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以直线可化为x-y+2=0.‎ 同理点(2,)可化为(,1),所以点到直线距离d==1.‎ ‎8.(2017·唐山模拟)已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.‎ 答案 (1)C:ρ=2 l:ρ(cosθ+sinθ)=2 (2)ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0)‎ 解析 (1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为 C:ρ=2,l:ρ(cosθ+sinθ)=2.‎ ‎(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2得ρρ1=ρ22.‎ 又ρ2=2,ρ1=,所以=4,‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cosθ+sinθ)(ρ≠0).‎