高考理科数学复习练习作业86 7页

题组层级快练(八十六)‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为(　　)‎ A．25x2＋9y2＝1　　　 B．9x2＋25y2＝1‎ C．25x＋9y＝1 D.＋＝1‎ 答案　A ‎2．极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为(　　)‎ A．(x＋)2＋y2＝ B．x2＋(y＋)2＝ C．x2＋(y－)2＝ D．(x－)2＋y2＝ 答案　D 解析　由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.选D.‎ ‎3．在极坐标系中，极坐标为(2，)的点到极点和极轴的距离分别为(　　)‎ A．1，1 B．1，2‎ C．2，1 D．2，2‎ 答案　C 解析　点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点(2，)到极点和极轴的距离分别为2，2sin＝1.‎ ‎4．在极坐标系中，点(2，－)到圆ρ＝－2cosθ的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　D 解析　在直角坐标系中，点(2，－)的直角坐标为(1，－)，圆ρ＝－2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2＝－2x，即(x＋1)2＋y2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为＝.故选D.‎ ‎5．(2017·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＝2与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标为(　　)‎ A．(2，) B．(2，)‎ C．(4，) D．(4，)‎ 答案　A 解析　ρ(cosθ－sinθ)＝2可化为直角坐标方程x－y＝2，即y＝x－2.‎ ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－8x＋12＝0，即x2－2x＋3＝0，所以x＝，y＝1.‎ 所以直线与圆的交点坐标为(，1)，化为极坐标为(2，)，故选A.‎ ‎6．在极坐标系中，与圆ρ＝4sinθ相切的一条直线的方程是(　　)‎ A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2‎ C．ρcosθ＝4 D．ρcosθ＝－4‎ 答案　B 解析　方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sinθ即ρ2＝4ρsinθ，所以直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.‎ 选项A，直线ρsinθ＝2的直角坐标方程为y＝2，代入圆的方程，得x2＝4，∴x＝±2，不符合题意；选项B，直线ρcosθ＝2的直角坐标方程为x＝2，代入圆的方程，得(y－2)2＝0，∴y＝2，符合题意．同理，以后选项都不符合题意．‎ 方法二：如图，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sinθ，‎ CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，直线l和圆相切，‎ l交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，‎ 则有cosθ＝＝，得ρcosθ＝2.‎ ‎7．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcosθ－2ρsinθ＋6＝0与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于(　　)‎ A. B．2 C．2 D．4‎ 答案　B 解析　化极坐标方程为直角坐标方程得x2＋y2－6x－2y＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2.‎ ‎8．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的圆心的极坐标是________，它与方程θ＝(ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标是________．‎ 答案　(1，0)，(，)‎ 解析　ρ＝2cosθ表示以点(1，0)为圆心，1为半径的圆，故圆心的极坐标为(1，0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，故交点的极坐标为(，)．‎ ‎9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cosθ与直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切，则a＝________．‎ 答案　1或－9‎ 解析　圆ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，即(x－1)2＋y2＝1，直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0，即4x＋3y＋a＝0，‎ 已知圆ρ＝2cosθ与直线4ρcosθ＋3ρsinθ＋a＝0相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离等于半径．‎ 即＝1，解得a＝1或－9.‎ ‎10．(2015·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ 答案　6‎ 解析　由ρ＝8sinθ⇒ρ2＝8ρsinθ⇒x2＋y2－8y＝0，x2＋(y－4)2＝16，圆心坐标为(0，4)，半径r＝4.由θ＝⇒y＝x，则圆心到直线的距离d＝2.∴圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.‎ ‎11．(2017·广州综合测试一)在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数a的值为________．‎ 答案　－5或－1‎ 解析　将直线ρ(sinθ－cosθ)＝a化为普通方程，得y－x＝a，即x－y＋a＝0，将曲线ρ＝2cosθ－4sinθ的方程化为普通方程，得x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径长为r＝.设圆心到直线AB的距离为d，由勾股定理可得d＝‎ eq (r2－（f(|AB|,2)）2)＝＝，而d＝＝＝，所以|a＋3|＝2，解得a＝－5或a＝－1.‎ ‎12．(2015·北京)在极坐标系中，点(2，)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．‎ 答案　1‎ 解析　点(2，)的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋y－6＝0，所以点(1，)到直线的距离d＝＝1.‎ ‎13．(2016·北京)在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 答案　2‎ 解析　将直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x－y－1＝0，将圆ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此|AB|＝2.‎ ‎14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为(，)，半径r＝，点P的极坐标为(2，π)，过P作直线l交圆C于A，B两点．‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)求|PA|·|PB|的值．‎ 答案　(1)(x－1)2＋(y－1)2＝2　(2)8‎ 解析　(1)圆C的圆心的极坐标C(，)，∴x＝cos＝1，y＝sin＝1，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)点P的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)．‎ 当直线l与圆C相切于点D时，则 ‎|PD|2＝|PC|2－r2＝(－2－1)2＋(0－1)2－()2＝8.‎ ‎∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.‎ ‎15．(2017·河北唐山三模)在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C2上的点到直线C3：ρcos(θ＋)＝距离的最大值．‎ 答案　(1)ρ＝2sinθ(ρ≠0)　(2)1＋ 解析　(1)设P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有 ρ1sinθ＝2，ρρ1＝4.‎ 消去ρ1，得曲线C2的极坐标方程为 ρ＝2sinθ(ρ≠0)．‎ ‎(2)将C2，C3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.‎ C2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C3的距离d＝，故曲线C2上的点到直线C3距离的最大值为1＋.‎ ‎16．(2014·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 答案　(1)(t为参数) (2)ρ＝ 解析　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得 由x12＋y12＝1得x2＋()2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝(x－)，化为极坐标方程，并整理得 ‎2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.‎ ‎1．在极坐标系中，曲线ρ2－10ρcosθ－2ρsinθ＋10＝0与极轴交于M、N两点，则|MN|＝________．‎ 答案　2 解析　∵M、N两点在极轴上，‎ ‎∴其极角θ＝0°，代入方程中得ρ2－10ρ＋10＝0，‎ ‎∴(ρ－5)2＝15，ρ＝5±，‎ 令M、N对应极径为ρM和ρN，则|MN|＝|ρM－ρN|＝2.‎ ‎2．(2017·河北冀州月考)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．‎ 答案　 解析　直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1，0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝.设所求的弦长为l，则12＝()2＋()2，解得l＝.‎ ‎3．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．‎ 答案　ρsinθ＋ρcosθ＝1(或ρsin(θ＋)＝)‎ 解析　曲线C1：ρ＝2sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C2：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，所以AB的方程为－x＋y＝0.又易知AB的垂直平分线斜率为－1，经过圆C1的圆心(0，1)，所以AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcosθ＝1，或化成ρsin(θ＋)＝.‎ ‎4．(2017·广东肇庆一模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(ρ>0，0≤θ<2π)，曲线C在点(2，)处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为________．‎ 答案　x＋y－2＝0‎ 解析　根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x2＋y2＝4，点(2，)⇒(，)．因为点(，)在圆x2＋y2＝4上，故圆在点(，)处的切线方程为x＋y＝4⇒x＋y－2＝0，故填x＋y－2＝0.‎ ‎5．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝2截得的弦长为________．‎ 答案　4 解析　直线ρsin(θ＋)＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，圆ρ＝4的直角坐标方程为x2＋y2＝16.圆心的坐标是(0，0)，半径是4，圆心到直线的距离d＝＝2，所以直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长是2＝4.‎ ‎6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρ＝4sinθ(<θ<π)交点的极坐标是________．‎ 答案　(2，)‎ 解析　由题意分析可得，曲线C1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C1的方程为x2＋y2＝4.对ρ＝4sinθ变形得ρ2＝4ρsinθ，所以曲线C2的方程为x2＋y2＝4y.联立两个方程，解得或又∵<θ<π，∴交点为(－，1)，转化为极坐标ρ＝2，tanθ＝，由题意θ＝，所以交点的极坐标为(2，)．‎ ‎7．(2014·陕西)在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin(θ－)＝1的距离是________．‎ 答案　1‎ 解析　ρsin(θ－)＝ρ(sinθcos－sincosθ)＝1，‎ 因为在极坐标系中，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直线可化为x－y＋2＝0.‎ 同理点(2，)可化为(，1)，所以点到直线距离d＝＝1.‎ ‎8．(2017·唐山模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．‎ 答案　(1)C：ρ＝2　l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2　(2)ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)‎ 解析　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22.‎ 又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．‎