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- 2021-06-11 发布
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高中数学 《圆锥曲线》探究性问题
近年来,在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题.探究性问题是一种开放性问题,是指命题中缺少一定条件或无明确结论,需要经过猜测、归纳并加以证明的题型.圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题,有探究位置关系的,有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的,有探究圆是否过定点直线是否过定点的,等等,有结论存在和结论不存在两种情形.这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时,能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力,对学生的综合能力要求较高.
模块1 整理方法 提升能力
圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种:一是先假设存在或结论成立,然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系,若能求出相应的量,则表示存在或结论成立,否则表示不存在或结论不成立;另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下,利用特殊情况作出猜想,然后加以验证.
例1
椭圆:()的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于、两点,且△的周长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设动直线:与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)因为,即,而,所以,.又因为,所以,,所以椭圆的方程为.
(2)法1:假设平面内存在定点满足条件,由对称性可知点必在轴上,设.
由,消去可得,因为直线
与椭圆有且只有一个公共点,所以,即.设,则,,所以.联立,可得.
因为,,由可得,整理可得,由解得,所以存在定点,使得以为直径的圆恒过点.
法2:假设平面内存在定点满足条件,由对称性可知点必在轴上.若直线为,则,,以为直径的圆为,与轴交于点和.下面进行验证.
由,消去可得,因为直线与椭圆有且只有一个公共点,所以,即.设,则,,所以.联立,可得.
因为,,所以.因为,,所以.
综上所述,存在定点,使得以为直径的圆恒过点.
【点评】由对称性得到:如果存在定点,则一定在轴上,由此可减少未知数的引入,降低题目的难度.法2是根据对称性和选取特殊情况,求出具体的圆与
轴的交点:和,此时只需对这两个点进行检验,如果有满足条件的,则表示点存在,如果都不满足,则表示点不存在.
例2
椭圆()经过点,离心率,直线的方程为.
(1)求椭圆的方程;
(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记、、的斜率分别为、、.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由在椭圆上,所以.又因为,解得,,所以椭圆的方程为.
(2)显然直线的斜率存在,设为,则直线的方程为.联立消去可得,设,,则有,.点的坐标为,所以,,.于是
,又因为,所以.所以存在常数符合题意.
【点评】引进直线的斜率,然后用去表示、、,将转化为的方程,该方程有解,则说明实数存在,否则不存在.我们也可以考虑特殊情况,让直线
的斜率,则有,,,,,,此时.也就是说,要么常数不存在,要么常数.该猜测能使解题方向更为清晰明确.
例3
椭圆:()的离心率为,轴被曲线:截得的线段长等于的长半轴长.
(1)求、的方程;
(2)设与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点、,直线、分别与相交于、.
(i)证明:;
(ii)记△、△的面积分别是、.问:是否存在直线,使得?请说明理由.
【解析】(1)由题意知,又因为,,解得,,所以、的方程分别为,.
【证明】(2)(i)由题意知,直线的斜率存在,设直线的方程为,,,由得,于是,.又点的坐标为,所以
,所以,即.
【解析】(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由可得或,所以点的横坐标为.设直线的斜率为,同理可得点
的横坐标为,于是.由可得,解得或,所以点的横坐标为.同理可得点的横坐标为,于是
,因此.由题意知,,解得或.于是直线的斜率为,解得,所以满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.
【点评】引入直线的斜率,则、、、的坐标都能用去表示,进而用表示,由得到有关的方程,该方程有解,则点存在,从而直线存在,否则点不存在,直线也不存在.
模块2 练习巩固 整合提升
练习1:在直角坐标系中,曲线:与直线()交于、两点.
(1)当时,分别求在点和处的切线方程;
(2)轴上是否存在点,使得当变动时,总有?说明理由.
【解析】(1)不妨设,.因为,所以在处的导数值为,所以在处的切线方程为,即.在处的导数值为,所以在处的切线方程为,即.所以在点和处的切线方程为或.
(2)存在符合题意的点.
设点为符合题意得点,,,直线、的斜率分别为、
,则.联立,消去,可得,所以,,于是.当时,有,则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补,所以,所以符合题意.
练习2:如图,:()的
顶点为、、、,焦点为、,,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是过原点的直线,是与垂直相交于点、
与椭圆相交于、两点的直线,,是否存在上述直线,使成立?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由可得,由可得,又因为,解得,,所以椭圆的方程为.
(2)设、.当垂直于轴时,点就是右焦点,此时,直线不满足条件.
当不垂直于轴时,设的方程为.由与垂直相交于点且可得,即.因为且,所以,于是.由消去可得,于是,,于是
,即.因为方程组无解,所以不存在满足条件的直线.
综上所述,不存在直线,使成立.
练习3:已知定点,,定直线:,不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍.设点的轨迹为,过点的直线交于、两点,直线、分别交于点、.
(1)求的方程;
(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设,依题意有,化简可得().
(2)法1:假设以线段为直径的圆过定点,由对称性可知该定点必在轴上,设.设直线的方程为,由,消去可得,由题意知.设,,则,.因为直线的方程为,所以点的坐标为,同理,于是,.由可得,即,即,即,解得或,所以以线段为直径的圆过定点和.
法2:假设以线段为直径的圆过定点,由对称性可知该定点必在轴上.若垂直于轴,则,直线方程为,所以点坐标为,此时以为直径的圆的方程为,该圆与轴交于点和.下面进行验证.
设直线的方程为,由,消去可得,由题意知.设,,则,.因为直线的方程为,所以点的坐标为,同理.
因为,,所以
.同理.所以以线段为直径的圆过定点和.
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