高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系学案新人教A版选修4-41 6页

一 平面直角坐标系 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用． 2．通过具体例子，了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 1．平面直角坐标系 (1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与________________、曲线与______建立了 联系，从而实现了________的结合． (2)坐标法：根据几何对象的______，选择适当的坐标系，建立它的______，通过______ 研究__________及____________________． (3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示 问题中涉及的______元素，将几何问题转化成______问题；第二步：通过代数运算，解决代 数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论． 【做一做 1－1】 已知平面内三点 A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，且满足BA→⊥AC→，则 x 的 值为( )． A．3 B．6 C．7 D．9 【做一做 1－2】 设平行四边形 ABCD 的顶点为 A(0,0)，B(0，b)，C(a，c)，则第四个 顶点 D 的坐标是( )． A．(a，b＋c) B．(－a，b＋c) C．(a，c－b) D．(－a，b－c) 【做一做 1－3】 已知平行四边形 ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2) 2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为______伸缩 变换，这就是用__________研究______变换． (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点， 在变换________________的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角 坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 【做一做 2－1】 如何由正弦曲线 y＝sin x 经伸缩变换得到 y＝1 2 sin1 2 x 的图象( )． A．将横坐标压缩为原来的1 2 ，纵坐标也压缩为原来的1 2 B．将横坐标压缩为原来的1 2 ，纵坐标伸长为原来的 2 倍 C．将横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标也伸长为原来的 2 倍 D．将横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标压缩为原来的1 2 【做一做 2－2】 将正弦曲线 y＝sin x 作如下变换： x′＝1 2 x， y′＝3y， 得到的曲线方程为 ( )． A．y′＝3sin1 2 x′ B．y′＝1 3 sin 2x′ C．y′＝1 2 sin 2x′ D．y′＝3sin 2x′ 答案：1．(1)坐标(有序实数对) 方程 数与形 (2)特征 方程 方程 它的性质 与其他几何图形的关系 (3)几何 代数 【做一做 1－1】 C BA→＝(1，－1)，AC→＝(5，x－2)， ∵BA→⊥AC→，∴BA→·AC→＝5－(x－2)＝0. ∴x＝7. 【做一做 1－2】 C 设 D(x，y)，由题意，AB→＝DC→， 即(0，b)＝(a－x，c－y)， ∴x＝a，y＝c－b. ∴顶点 D 的坐标为(a，c－b)． 【做一做 1－3】 证明：以边 AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)，则由对称性知 D(b－a，c)， ∴AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2， AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2. ∵AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， 而 AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 2．(1)坐标 代数方法 几何 (2)φ： x′＝λx， λ＞0 ， y′＝μy， μ＞0 【做一做 2－1】 D 【做一做 2－2】 D 建立平面直角坐标系的方法 剖析：一般情况下，有如下建立平面直角坐标系的方法：(1)当题目中有两条互相垂直 的直线时，以这两条直线为坐标轴，建立平面直角坐标系；(2)当题目中有轴对称图形时， 以轴对称图形的对称轴为坐标轴，建立平面直角坐标系；(3)当题目中有已知长度的线段时， 以线段所在的直线为 x 轴，以端点或中点为原点，建立平面直角坐标系．在建立平面直角坐 标系时，应使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上． 平面直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件． 题型一 用平面直角坐标系解决实际问题 【例 1】 如图所示，A，B，C 是三个观察站，A 在 B 的正东，两地相距 6 km，C 在 B 的 北偏西 30°，两地相距 4 km，在某一时刻，A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播 速度为 1 km/s,4 s 后 B，C 两个观察站同时发现这种信号，在以过 A，B 两点的直线为 x 轴， 以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的 P 的坐标． 分析：由题意可知，点 P 所在的位置满足两个条件：(1)在线段 BC 的垂直平分线上，(2) 在以 A，B 为焦点的双曲线上． 反思：合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化 我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也 不明确． 题型二 平面直角坐标系下的轨迹问题 【例 2】 △ABC 的顶点 A 固定，点 A 的对边 BC 的长是 2a，边 BC 上的高的长是 b，边 BC 沿一条直线移动，求△ABC 外心的轨迹方程． 反思：在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上，还要注意： (1)选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量； (2)要注意给出曲线图形的范围，在限定范围的基础上求曲线方程．如果只求出曲线的 方程，而没有根据题目要求，确定出 x，y 的取值范围，则最后的结论是不完备的． 题型三 平面直角坐标系下的伸缩变换 【例 3】 在同一平面直角坐标系下经过伸缩变换 x′＝3x， y′＝2y 后，圆 x2＋y2＝1 变成了 什么曲线？ 分析：将伸缩变换中的 x，y 分别用 x′，y′表示，代入已知的曲线方程，即可得到所 求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型． 题型四 易错辨析 【例 4】 在平面直角坐标系中，求方程 x＋y＋2＝0 所对应的图形经过伸缩变换 x′＝1 2 x， y′＝4y 后的图形． 错解：直线 x＋8y＋4＝0. 答案：【例 1】 解：设点 P 的坐标为(x，y)，则 A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2 3)． 因为|PB|＝|PC|，所以点 P 在 BC 的中垂线上． 因为 kBC＝－ 3，BC 的中点 D(－4， 3)， 所以直线 PD 的方程为 y－ 3＝ 1 3 (x＋4)．① 又因为|PB|－|PA|＝4，所以点 P 必在以 A，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x2 4 －y2 5 ＝1(x≥2)．② 联立①②，解得 x＝8 或 x＝－32 11 (舍去)， 所以 y＝5 3. 所以点 P 的坐标为(8,5 3)． 【例 2】 解：以边 BC 所在的定直线为 x 轴，过 A 作 x 轴的垂线为 y 轴，建立直角坐 标系，则点 A 的坐标为(0，b)． 设△ABC 的外心为 M(x，y)． 取 BC 的中点 N，则 MN⊥BC，即 MN 是 BC 的垂直平分线． ∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，|MN|＝|y|. 又 M 是△ABC 的外心，∴|MA|＝|MB|. 又|MA|＝ x2＋ y－b 2，|MB|＝ |MN|2＋|BN|2＝ y2＋a2， ∴ x2＋ y－b 2＝ y2＋a2，化简，得所求的轨迹方程为 x2－2by＋b2－a2＝0. 【例 3】 解：∵ x′＝3x， y′＝2y， ∴ x＝1 3 x′， y＝1 2 y′， 代入圆的方程 x2＋y2＝1，得(1 3 x′)2＋(1 2 y′)2＝1， ∴x′2 9 ＋y′2 4 ＝1. ∴经过伸缩变换 x′＝3x， y′＝2y 后， 圆 x2＋y2＝1 变成了椭圆x′2 9 ＋y′2 4 ＝1. 【例 4】 错因分析：点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此 点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．错解混淆 了(x，y)和(x′，y′)的含义． 正解：由坐标伸缩变换 x′＝1 2 x， y′＝4y 得 x＝2x′， y＝1 4 y′. 代入 x＋y＋2＝0，得 2x′＋1 4 y′＋2＝0， ∴8x′＋y′＋8＝0. ∴经过伸缩变换 x′＝1 2 x， y′＝4y 后，直线 x＋y＋2＝0 变成直线 8x′＋y′＋8＝0. 1 点 P(1，－2)关于点 A(－1,1)的对称点 P′的坐标为( )． A．(3,4) B．(－3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4) 2 已知点 A(－1,3)，点 B(3,1)，点 C 在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点 C 的 个数是( )． A．1 B．2 C．3 D．4 3 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 5 , 3 x x y y      后，曲线 C 变为曲线 x′2＋y′2 ＝1，则曲线 C 的方程为( )． A．25x2＋9y2＝1 B．9x2＋25y2＝1 C．25x＋9y＝1 D. 2 2 25 9 x y ＝1 4 已知函数 f(x)＝ 2 2( 1) 1 ( 1) 1,x x     则 f(x)的最小值为__________． 5 在同一平面直角坐标系中，将曲线 x2－36y2－8x＋12＝0 变成曲线 x′2－y′2－4x′＋ 3＝0，求满足条件的伸缩变换． 答案：1．B 2．C 若点 C 在 x 轴上可设点 C 的坐标为(x,0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， ∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋1，解得 x1＝0，x2＝2. ∴点 C 的坐标为(0,0)或(2,0)． 若点 C 在 y 轴上可设点 C 的坐标为(0，y)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2， ∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(y－3)2＋(0－3)2＋(y－1)2， 解之得 y1＝0，y2＝4. ∴点 C 的坐标为(0,0)或(0,4)． 故满足条件的点 C 的个数为 3. 3．A 将伸缩变换 5 , 3 x x y y      代入 x′2＋y′2＝1，得 25x2＋9y2＝1. 4． 2 2 f(x)可看作是平面直角坐标系下 x 轴上一点(x,0)到两定点(－1,1)和(1,1)的 距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为 2 2 . 5．解：x2－36y2－8x＋12＝0 可化为 24( )2 x  －9y2＝1.① x′2－y′2－4x′＋3＝0 可化为(x′－2)2－y′2＝1.② 比较①②，可得 42 ,2 3 , xx y y       即 ,2 3 . xx y y       所以将曲线 x2－36y2－8x＋12＝0 上所有点的横坐标变为原来的 1 2 ，纵坐标变为原来的 3 倍，就可得到曲线 x′2－y′2－4x′＋3＝0 的图象．