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- 2021-06-11 发布
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平面的基本性质及推论
(答题时间:40分钟)
*1. (福州检测)下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面
②一条直线和一个点可以确定一个平面
③四边形是平面图形
④两条相交直线可以确定一个平面
*2.(扬州检测)经过空间任意三点可以作________个平面。
**3.(1)三条直线两两平行,但不共面,它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面。
*4.(宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________。(填序号)
①两条直线;②一点和一直线;③一个三角形;④三个点
**5.(梅州检测)如图所示的正方体中,P、Q、M、N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。(把正确图形的序号都填上)
**6.(福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时,它们的交线有________条。
**7. 证明:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内。
**8. 如图所示,已知四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2。求证:直线EG,FH,AC相交于同一点。
***9. 在正方体AC1中,E,F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图
(1)求证:D、B、E、F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置。
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1. ④ 解析:①错误,不共线的三点可以确定一个平面;
②错误,一条直线和直线外一个点可以确定一个平面;
③错误,四边形不一定是平面图形;
④正确,两条相交直线可以确定一个平面。
2. 一个或无数 解析:若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数个平面。
3.(1)3 (2)1或3
解析:(1)三条直线两两平行但不共面,它们可以确定3个平面。
(2)共点的三条直线可以确定1个或3个平面。
4. ③ 解析:①不正确,由于两条直线的位置关系不明确,故无法判断其能否确定一个平面;②不正确,只有当点在直线外时才满足题意;③正确,由公理3可知其正确;④不正确,只有在三点不共线时,才符合题意。
5. ①③ 解析:图形①中,连接MN,PQ,则由正方体的性质得MN∥PQ,根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确,分析可知图形②④中这四点均不共面;③中4点恰是正六边形的4点,故③正确。
6. 3 解析:如图所示,利用投影的观点,把平面视作三条线,则它们的交线有3条。
7. 证明:已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,
求证:直线l1,l2,l3在同一平面内。
证明:∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α,
∵l2∩l3=B,∴B∈l2,又∵l2⊂α,∴B∈α,
同理可证C∈α.又∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α,
故直线l1,l2,l3在同一平面内。
8. 证明:∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF∥BD且EF=BD,
又∵=2,
∴GH∥BD且GH=BD,
∴EF∥GH且EF>GH,
3
∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,
设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD,
又∵平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点。
9. 证明:(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交,设交点为O,则OC1=C1C,同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合,由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面(设为α);
(2)解:由于AA1∥CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为β),P∈BD,而BD⊂α,故P∈α,
又P∈AC,而AC⊂β,所以P∈β,
所以P∈α∩β,同理可证得Q∈α∩β,从而有α∩β=PQ,
又因为A1C⊂β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点,连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点。
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