2020年高中数学第三章函数的应用3 5页

‎3.1.2‎‎ 用二分法求方程的近似解 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)‎ 答案：B ‎2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)‎ A．ε越大，零点的精确度越高 B．ε越大，零点的精确度越低 C．重复计算次数就是ε D．重复计算次数与ε无关 答案：B ‎3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　)‎ A．[－2, 1] B．[－1,0]‎ C．[0,1] D．[1,2]‎ 解析：f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0‎ 逐次验证得出初始区间为A.‎ 答案：A ‎4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)·f(b)<0，用二分法求x0时，当f＝0时，则函数f(x)的零点是(　　)‎ A．(a，b)外的点 B．x＝ C．区间或内的任意一个实数 D．x＝a或x＝b 答案：B ‎5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)‎ A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)‎ C．(1.5,2) D．不能确定 解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f 5‎ ‎(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．‎ 答案：B ‎6．用二分法研究函数f(x)＝x2＋6x－2的零点时，第一次经过计算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．‎ 解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点＝0.25，∴第二次应计算f(0.25)．‎ 答案：(0,0.5)　f(0.25)‎ ‎7．求方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．‎ 解析：构造函数f(x)＝log3x＋x－3，找出函数零点所在的初始区间，‎ ‎∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．‎ 答案：(2,3)‎ ‎8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，‎ 则a＋b＝________.‎ 解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5＜0，‎ f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎9．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．(精确度0.1)‎ 解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函数在(0,1)内存在零点，即方程在(0,1)内有实数解，取(0,1)作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：‎ 区间 中点 中点函数值 ‎(0,1)‎ ‎0.5‎ f(0. 5)<0‎ ‎(0.5,1)‎ ‎0.75‎ f(0.75)>0‎ ‎(0.5,0.75)‎ ‎0.62 5‎ f(0.62 5)<0‎ ‎(0.625,0.75)‎ ‎0.687 5‎ f(0.687 5)<0‎ ‎(0.687 5,0.75)‎ 5‎ 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解可取为0.75.‎ ‎10．求的近似值．(精确到0.01)‎ 解析：设x＝，则x3－2＝0，令f (x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值．‎ 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．‎ 用二分法逐步计算，列表如下：‎ 区间 中点 中点函数值 ‎(1,2)‎ ‎1.5‎ ‎1.375‎ ‎(1,1.5)‎ ‎1.25‎ ‎－0.046 9‎ ‎(1.25,1.5)‎ ‎1.375‎ ‎0.599 6‎ ‎(1.25,1.375)‎ ‎1.312 5‎ ‎0.261 0‎ ‎(1.25,1.312 5)‎ ‎1.281 25‎ ‎0.103 3‎ ‎(1.25,1.281 25)‎ ‎1.265 63‎ ‎0.027 3‎ ‎(1.25,1.265 63)‎ ‎1.257 82‎ ‎－0.01‎ ‎(1.257 82,1.265 63)‎ 由于|1.265 63－1.257 82|＝0.007 81<0.01‎ ‎∴这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值是1.26.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)‎ A．4,4 B．3,4‎ C．5,4 D．4,3‎ 解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.‎ 答案：D ‎2．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列叙述正确的是(　　)‎ A．函数f(x)在(2 010,2 011)内不存在零点 B．函数f(x)在(2 009,2 010)内不存在零点 C．函数f(x)在(2 010,2 011)内存在零点，并且仅有一个 D．函数在(2 009,2 010)内可能存在零点 解析：f(2 009)·f(2 010)>0，只能说在(2 009，2 010)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 010)·f(2 011)<0，说明在(2 010,2 011)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D.‎ 5‎ 答案：D ‎3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：‎ x ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ f(x)‎ ‎－136‎ ‎－21‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎13‎ ‎－1‎ ‎－8‎ ‎－2‎ ‎4‎ ‎29‎ ‎98‎ 则下列判断正确的是________．‎ ‎①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；‎ ‎②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；‎ ‎③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；‎ ‎④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．‎ 解析：f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．‎ 答案：①②③‎ ‎4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：‎ f(1.600 0)＝0.20 0‎ f(1.587 5)＝0.133‎ f(1.575 0)＝0.067‎ f(1.562 5)＝0.003‎ f(1.556 2)＝－0.029‎ f(1.55 00)＝－0.060‎ 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确到0.01)为________．‎ 解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.‎ 答案：1.56‎ ‎5．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条‎10 km长的线路，如何迅速查出故障所在位置？‎ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子‎.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！‎ 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？‎ 解析：如图所示：可利用二分法的原理进行查找．‎ 设闸房和指挥部所在地分别为A，B，他首先从AB的中点C处查，用随身带的电话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D处来查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD中点E 5‎ 处来查，这样每查一次，就可以把待查的线路长缩减一半，故经过7次查找，就可以把故障可能发生的范围缩小到‎50 m～‎100 m左右，即一两根电线杆附近．‎ ‎6．已知函数f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内是否有根？若有根，有几个？请你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值．(精确度0.01)‎ 解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内有根，‎ f(x)＝3x＋＝3x＋1－，‎ 当x∈(－1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，‎ 所以若方程f(x)＝0有根，则最多有一个根．‎ ‎∵f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：‎ 区间 中点的值 中点函数近似值 ‎(0,1)‎ ‎0.5‎ ‎0.732‎ ‎(0,0.5)‎ ‎0.25‎ ‎－0.084‎ ‎(0.25,0.5)‎ ‎0.375‎ ‎0.328‎ ‎(0.25,0.375)‎ ‎0.312 5‎ ‎0.124‎ ‎(0.25,0.312 5)‎ ‎0.281 25‎ ‎0.021‎ ‎(0.25,0.281 25)‎ ‎0.265 625‎ ‎－0.032‎ ‎(0.265 625,0.281 25)‎ ‎0.273 437 5‎ ‎－0.005‎ ‎(0.273 437 5,0.281 25)‎ 由于|0.273 437 5－0.281 25|<0.01.‎ 所以x＝0.281 25.‎ ‎(实际上[0.273 437 5,0.281 25]内的任意一个值均可以．)‎ 5‎